II
ior/nn
Ku se bornant au [)remier terme, ou a preciscmnit la \aleui approchée de /'a""d. 7(1 — x)" déduite de la formule de Stirling, p. .><So.
Itl.S IMlOltAIllllTKS. 9,()J
Pour ce <jni picti-ilc, j'ai suivi en j^iandc partie la iii.nrlic Iraccc par Laplacc dans !<• premier INIénioire qu'il a publie sur le Caleul des l'robabiiites, Sfnunits rtnin'^crs, t. VI, p. ()■>.(), el par Legen(lr<\ dans la troisième partie de ses Ercrcic.v.s de Calcul intcgral, p. 343 (*).
Sur le n" 111, page 1 79.
'Les fi g. I et 2, indiquées à l'endroit cité, n'ont pas grand besoin d'explication ; il suffira de dire qu'on s'est proposé, dans \Ajii;;. I, de donner une idée des différences les plus grandes que présentent les Tables de mortalité. Pour cela, on a construit les courbes résultantes des Tables dressées par Sussmilch, pour Vienne, en Autriche ; par Muret, pour les campagnes de la Suisse; et de la Table de V Annuaire du Bureau des Longitudes, dressée par M. Duvillard, et qui doit offrir les nombres moyens pris sur toute la France.
Si ces courbes paraissent se terminer à l'âge de 100 ans, ce n'est pas que les Tables dont on s'est servi ne continssent quelques centenaires ; mais leur nombre, comparé à celui des naissances, s'est trouvé trop pelit pour donner une grandeur linéaire sensible sur la figure.
La ligne droite, qui va de l'extrémité des naissances jusqu'au dernier terme de la vie, a été tirée pour montrer combien, dans les premiers et dans les derniers âges, le décroissement du nombre des vivants s'éloigne de l'uniformité. On voit ensuite dans quelle partie chaque courbe devient à peu près droite, et par là dans quels âges on pourrait prendre, pour représenter la loi de mortalité, une progression par différence, ce qui peut être (luelquefois utile (112, 127).
(*) Ceux qui voudront suivre dans ces progrès la théorie des approximations pour les formules de (grands nombres, devront consulter d'abord le Tractalus de summatione et interpolatione serierum, de Stirling, p. 1 '55 ; les Miscellanea analylica di- scriabus et qaadraiuris, de Moivre, p. j du .Supplément; et passer au Calcul dijférenticl d'Euler, 2^ part., chap. W, |)uis aïK Mémoires de l'Académie d(s Sciences pour les années 1778, |>. 227; I78'2, p. I, et 1783, p. 4''-5 ) à la Théorie ainilrli'/ne dis Vrohabililés, livre l*""", 2' partie; et enfin au Mémoire inséré par M. Poisson dans le t. IX des Mémoires de l' Académie des Sciences, p. 23i).
'^y8 TRAITÉ ïiLÉMEATAir.E
La li(,'ne menée par le milieu des naissances, parallclenitiit à la hase de la figure, rencontre les courbes au point où il ne reste plus en vie que la moitié des individus, et montre une bien grande différence pour la force réelle de la population lloj, entre les trois lieux pris pour exemples.
Sur le n" 118, page 190.
Lorsque la loi tle mortalité est exprimée par une formule analytique, on en déduit toutes les conséquences au moven du calcul différentiel et du calcul intégral ; mais on peut aussi opérer immédiatement sur la courbe qui représente cette formule; et c'est ce que je vais faire d'abord, parce que ce procède, plus simple et parlant aux yeux, mène très-directement aux expressions analytiques.
1° La vie probable, ou plus généralement Cdge auquel sera réduit, clans un rapport donné, le nombre des individus ayant actuellement un âge donnée se détermine en élevant sur l'âge donné AP {fig. 3) l'ordonnée PM, et prenant une partie PR, égale au nombre des individus qui doivent rester il l'âge cherché. Tirant, parallèlement à l'axe AB, la droite RIN, elle rencontrera la courl)e au point N, dont l'abscisse AQ exprimera l'âge cherche.
Dans le cas de la vie probable, PR = j P>L
2° Passons à la recherche de la rne moyenne. Si Ton prend d'abord sur l'axe «les abscisses AB '\fig. 4) ^^ commençant au point P correspondant à l'âge duquel on veut partir, des divisions égales PP', P'f", P"P"', etc., qu'on élève les ordonnées con-espondantes, et qu'on mène, j)arallélement à AB, les droites M'R, M"R', etc., les parties MR, RR', R'R", etc., de l'ordonnée PM inanjucront le nombre des morts qui auront lieu dans chaque intervalle égal à PP' ; ainsi PP' sera la durée de la vie du nomhre des individus représenté par ^IR, PP'' celle du nombre n^- ])résenlé par RR', PP " celle du nombre représenté par R'R", et ainsi de suite. La dune de la vie movenne sera donc expriuu'c par
!\ÎR X PP^ H- RÏÏ"' X PP^ + K'K X PP^ -h • • P.M
l)i:S l'IUtBAUlLlTÉS. 2Cjy
c'est-à-dire par la somme des rectangles MM', RM", R'M", etc., divisée par l'ordonnée PM. Mais il est visible que la somme de ces rectangles, formant le polygone l'.MQQ'Q". . .B, didére d'autant moins de P.MM'M". . .B, ou de la courbe de mortalité, que les intervalles PP', P'P", etc., sont plus petits. En supposant donc la loi de continuité dans les décvs, et passant en conséquence à la limite, il faudra substituer la courbe au polygone, ce qui donnera
PMM^M"...B PM
pour la durée de la vie moyenne, à partir de l'âge AP.
Il suit de là que si l'on construit sur l'oidormée PiM [fig- 5) un rectangle PMTS équivalent à l'aire curviligne PMB, la base PS indiquera !e nombre cherché.
L'aire du segment de la courbe CMB étant représentée en général pary^'dj:, on a pour la durée de la vie moyenne l'expression analytique
/jtl-r
Si l'on y met pour j la valeur proposée par Lambert (112), les intégrations à effectuer n'auront aucune difficulté.
3° Ce qui précède fait bien voir comment la vie probable diffère de la vie moyenne : celle-ci n'est égale à la première que quand la ligne de mortalité PMB devient droite, parce qu'alors au point O, où 01 = ^ PM, les triangles BOI et INILI sont égaux; ainsi le rectangle MLOP est et]uivalent au triangle PMB. Je rapporterai ici, d'après I\L Duvillard (*), la démonstration générale que Lambert a donnée de cette différence.
La ligne BP = .r' étant prise pour l'abscisse du point M, si l'on conçoit l'équation de la courbe CMB développée dans la forme
x' = ny"^by'-\- . ..,
on aura
frà-v' = — 1 ^ h
(*) Itcchei ches sur les Kwprunls, p. 8i.
3oO IRAITÉ ÉLK.MElSTAIPiE
Cette intégrale, étant nulle lorsque j = o, n'a pas besoin de ( on stante, et l'on en conclut pour la vie moyenne
/'>'cl,r' mny"' nbr"
PS = ^— = — -^— H h ... ;
mais QN étant \ PM = ^ j, il s'ensuit PQ = PB — BQ = ay"' f , —\ -+-/,)" f i -1-
Cela posé, pour qu'on ait PQ = PS, quel que soit j, il faut que
I tu I n
d'où il suit
Mais chacune de ces équations ne donnant de valeurs réelles que /« = o, m z=: \ , « = o, « = i, en employant l'une et l'autre de ces valeurs, on ne trouvera que x' := a ~\~ by, équation de la ligne droite.
4° La manière dont la population se compose suivant les âges, ou la loi de la population, résulte aussi des constructions et dos formules indicjuées ci-dessus; car la sonnne de tous les nombres de la Table, depuis un âge donné AP juscju'à la lin, est représentée par l'aire curviligne PME, exprimée en nombres.
En effet, le nombre des naissances annuelles étant exprimé par IN, si on les suppose également distribuées sur chaque instant de l'année, on aura
- = IN d r
pour celles (|ui répondent à l'instant d' ; dans les sun.inls. Ii nombre des vivants étant réduit à j', y", etc., on aura
—^ = y ' d ,r , ' = y" (la-, . . . ( 118 ,
«1 par consc<juenl
N d X 4- y' d x -i- ) '' (U + . . .= fy il.r.
i>i:s l'UoiiAiiiLn Es. 3<ii
Il suit (k- la ([iio rordoniu'o ((iii divisf iii liciix parliis cj^aU s l'aire ACR iiuli(nip l'àj^f aii-dcssoiis vt au-dessus duquel som (Miiupriscs les <lt'ii.\ nioilirs de la population.
Kn appli(pianr cctle reuiarcjue à la /ii^. i, on verra I imiiicnsc avantage (pie la population des campagnes de la Suisse a sur les lU'ux autres, par rap[)()!t à celte eircouslante.
5° Ou peut tleinandei' encore f/iitl est loge moyen de la population^ e'esl-à-dire celui (pii s'oLtient eu divisant la somme ties âges de tous les individus par le nombre de ces individus. Suivant cette définition, .ry étant la somme des âges de y individus de l'âge X, il viendra, pour les âges x\ x" , x'" , etc., l'expression
Multipliant les deux termes par iXx, et jiassant aux intégrales, le nombre cherché sera exprimé par la formule
les intégrales ayant pour limites celles des âges que l'on embrasse.
On voit qu'il est égal à l'abscisse du centre de gravité du seguu'nt de courbe correspondant à ces âges.
La différence entie l'âge moyen et la durée de la vie moyenne est facile à saisir lorsque la ligne de mortalité est droite; car alors le centre de gravité est au tiers de AB [Jîg- 5 i, à partir du point A, et la vie proliable répond à la moitié.
b" Le rapport de l'ordonnée d'une courbe PiM [fig. 6) à la
dj sous-tangente PT, ou le coefficient différentiel -r— -, exprimant
la limite du rapport des changements de l'ordonnée à ceux de
l'abscisse, indique la tendance plus ou moins grande de cette
courbe, dans chacun de ses points, à se rapprocher de l'axe des
abscisses, et peut servir à mesurer, dans la courbe de mortalité,
la tendance à mourir relative à chaque âge; le lapport inverse,
d X celui de PT à PM ou -r— ? mesurant l'effet contraire, pourra être dj
appelé la vitalité i\e chaqtu* âge.
[]o2 thaiti^. éléme.ntaiiîi
Sur le II" 1-27, page 204.
1" Si Ton conçoit que l.i rente .v se paye par portions égales à sAx, X désignant le temps écoulé depuis l'origine du placement, (jifon représente par z la probabilité que l'individu qui l'a fait existera au bout du temps jt, enfin que, pour abréger, on fasse I -h / = 7, la somme id.r, rapportée à l'origine de ce temps, et multipliée par la probabilité de la payer, deviendra
d'oi^i S
et l'intégrale devra être prise depuis x ^o jusiju'à l'âge le plus avancé de la Table de mortalité.
Ce qui précède suppose qu'on ait l'expression analytique de la loi de mortalité, ou l'équation de la courbe qui représente cette loi (112). Soit j= £(•»;) cette équation, y étant le nombre de vivants à l'âge x. compté depuis la naissance; pour transporter l'origine des x à l'âge a, il suffira d'écrire « -f- j", au lieu de X, ce qui donnera 7 = f ( « -f- jr) ; or, le nombre des vivants de l'âge a étant f(«), on aura
{{a-{- x) s /* (\xi[a -\- x)
et S =
On peut laisser partir la variable x de la naissance, en écrivant seulement 7^~", au lieu de 7-^, el la formule ci-dessus devient
l'intégrale étant prise depuis r = « jusqu'à la fin de la Table de mortalité.
2° Si la rente ne devait commencer à courir (pi'un nombre // d'années après l'époque du placement, ti étiint l'âge aiiipu'l il s'est fait, la valeur du capital serait encore
s rd.rl\.r) [^ ./ 7'"" *
iiKs l'noiiAHiLirrs. '.](>.]
iiKiis I int( ;^i';il«' iir «li'\ rait ((Hiinu'iu»'! <|ii'à ./; =:r. a ~\- //, pair»' «m'il faut en rctranclicr toute la pai lie (|iii pnccdc le preiniei' pavt'iiicnt tic la rfiitc.
L'application de ces expressions, soit à la formule de Landjcrl, soit à l'hypothèse de Moivre, rapportées dans le n" 112, est trop facile pour s'y arrêter : je nie bornerai tlonc à faire observer (pie l'introduction de la loi de continuité, distribuant les décès et les pavements sur tous les instants de l'âge, convient mieux fpie toute autre hypothèse au cas où le banquier s'engage à payer aux héritiers la portion de rente échue depuis le décès du rentier; mais elle <hange un peu le produit de l'intérêt de l'argent, parce que, dans la pratique, on n'obtient pas, pour dç petits intervalles de temps, l'intérêt composé, mais l'intérêt simple.
3° En substituant les différences aux différentielles, on mettra tel intervalle (ju'on voudra entre les pavements; car alors on pourra calculer la somme de la suite des valeurs de l'ex- Iiression
à partir de x:=ia, en faisant croître .r, de la différence h assignée pour l'intervalle de deux jiayements. Celte somme dépend, counne on sait, de l'intégrale
. sffx)
et l'on obtiendrait son développement par la série sommatoire
. , sïix) d hiiler, citée p. a-jo, en v faisant n = - — ; C est à peu
près ainsi que Laplace traite ce sujet dans la Théorie analytique des Probabilités, p. 426.
On pourrait aussi résoudre, par des constructions géométriques, les questions relatives aux rentes, en combinant avec la courbe de mortalité la logarithmique au moyen de laquelle on représente la marche de l'intérêt de l'argent : c'est ce rju'a lait M. Duvillard, dans ses Recherches sur les Emprunts.
)()4 TRAITÉ ÉLÉ.MF.3NTAIRC
Sur le n" 15i, p. 247.
