II. Si en même temps que a = d, on suppose que d = 0, la

valeur de x' se réduit à 0, et celle de x” à A la valeur x' = 0

correspond un point également éclairé et situé dans les lumières

elles-mêmes ; quant à x" elle indique que le point cherché

peut être pris arbiti-airemcnt sur la droite AB, ce que l’on

vérifie sur l’équation [1] qui devient une identité — ,= Il est

clair, en effet, que le point également éclairé qui, d’abord, était entre les deux lumières A et B, doit coïncider avec ces lumières elles-mêmes, puisqu’elles se sont rapprochées jusqu’à n’en plus faire qu’une seule. Quant au point situé en dehors de A et de B, il peut être placé où l’on voudra , puisque les deux lumières ayant la même intensité éclairent partout également.

III. Quand on suppose seulement d = 0 , tonies les valeurs s’évanouissent, et cependant l’équation du problème devient

CL b CL b

, ou -^j- = 0, ce qui exigerait que x fût infini; il y a

donc ainsi contradiction apparente entre les conséquences déduites des formules, et les conséquences déduites de l’équation qui est la traduction immédiate du problème proposé'. Mais , dans ce cas, aux points trouvés les intensités des lumières deviennent infinies, et il n’y a pas lieu à les mesurer.

IV. Si l’on suppose seulement à = 0, ona x' = x" = d et à — a! = d — x" = 0, ce qui place les deux points également éclairés au point B. Mais, comme il n’y a plus de lumière en ce point, cette circonstance du calcul échappe à l’interprétation. Si l’on concevait seulement que l’intensité de la lumière B diminuât progressivement , les deux points également éclairés se

318 PSOBLKXB DES LOUÉHBS.

i-approchcraient de plus en plus du point B. Ce cas extrême n’est donc qu’une liinile donnée par le calcul. On voit par là qu’il y a parfois dans les problèmes des circonstances qui échappent à l’interprétation du calcul algébrique. Cela lient à ce que l’algèbre ne traduit jamais rigoureusement que les conditions qui sont susceptibles d’ôtre représentées par une équation.

Remarques sur les solutions négat'.ves, infinies et imaginaires.

1263. Les caractères d’impossibilité que possède l’idgèbre se traduisent par les symboles

a: = oo ,

ar:= A-j-Bv^ — 1.

Ces symboles compares entre eux donnent lieu aux considérations suivantes :

1' Une solation négative indique que le problème proposé exprimé par l’équation est impossible, mais que la valeur absolue du nombre trouvé répond, en général, à un problème corrélatif dont la traduction algébrique est l'équation que l’on obtient quand on a changé le signe de l’inconnue dans l’équation qui a fourni la valeur négative. Ainsi, c’est par des renversements d’opérations que se fait la correction du problème.

2° Une solution infinie indique, en général, que le problème exprimé par l’équation est impossible , mais qu’en changeant un tant soit peu la valeur de certaines données de la question, riinpossibilité disparaît immédiatement, ce qui n’a pas lieu dans les solutions négatives; seulement l’inconnue, d’infinie qu’elle était, devient finie et très-grande.

3” Une solution imaginaire indique que le problème exprimé par l’équation est impossible. Si l’on change x en — x, au lieu d’une solution de la forme ar = A -|- B \f — 1 , on en anra une do la forme x=— A— B V^. tout aussi impossible que la première. Si l’on change un tant soit peu les relations de grandeur entre certaines quantités qui entrent dans l’énoncé du problème , le symbole n’en restera pas moins, en génénd, dans l’expression de l’inconnue, et le problème continuera à

REiUROüBS SÜB LES SOLUTIOHS flÊGATlVBS, ETC. 319

ôlre impossible. Ije problème ne deviendrait possible qu’autanl .que la modification de l’énoncé aurait pour clTel de rendre positive la quantité dont il faut extraire la racine carrée. Cela peut SC présenter ainsi dans des cas très-particuliers; mais on ne peut pas, pour l'interprétation des solutions imaginaires, prescrire une règle comme pour les solutions négatives; et encore, dans ce dernier cas, rencontre-t-on souvent des problèmes pour les solutions négatives descjucls il est impossible d’arriver à une interprétation.

En résumé, les trois symboles cC impossibilité que possède l’algèbre, ont chacun un caractère propre , et c’est ce que nous voulions faire remarquer.

Calcul des radicaux du second degré.

SCC. Dans la résolution des équations du second degré , et plus particulièrement dans celle du problème des lumières , nous avons eu quelques c,ilculs de radicaux du second degré à exécuter. ‘

En général , ces opérations peuvent se faire d’après les seuls principes de l’arithmétique , tant que les radicaux sont réels. Nous insisterons seulement sUr un point.

On peut faire entrer un facteur sous le radical en l’élevant au carré, et réciproquement on peut faire sorti* un facteur carré hors , du radical en extrayant sa racine.

Exemple. a\fb = y/c^.

Si on avait à calculer 7 ^2, h moins d’un centième, par exemple, il ne faudrait pas omettre la transformation qui donnerait alors ^49x2 = \/98.

Les radicaux sont semblables ou dissemblables, suivant que la quantité soumise au radical est ou n’est pas la même.

Des l'adicanx dissemblables en apparence peuvent souvent se ramener à des radicaux semblables en faisant sortir tous les facteurs carrés.

Exemple. Les radicaux ,

320 CJlLCm. DES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ,

reviennent à

3av^4X2x6’X6Xc*. 2v/9x2xa*xô,

ou à 3av^4x*’Xc*Xv'2x6, 2v'9Xa*X v/2 X <», cl par suite aux radicaux semblables

üabc^ib, 6a^2b.

Ix's radicaux semblables sont naturellement soumis aux mêmes règles de réduction que les termes semblables.

Tels sont les principes généraux qui régissent les calculs des radicaux carrés que nous supposons réels.

Nous n’avons pas ici ù nous occuper des radicaux imaginaires.

Le calcul des radicaux du second degré se trouvera implicitement compris dans le calcul des radicaux d’un degré quelconque qu’on trouvera complètement exposé plus tard. Voici néanmoins quelques exemples :