LIVRE IV

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS ET DES PROBLÈMES DU 1" DEGRÉ A UNE OU A PLUSIEURS INCONNUES.

CBAPITRE PREMIER.

NOTIONS PRÉLIMINAIRES.— RÉSOLUTION DES ÉQUA- TIONS NUMÉRIQUES ET LITTÉRALES DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE. — PROBLÈMES RÉSOLUS.

SOHMAIRB.

114. Définitions. Identité. Deux espèces d’identités. Remarque sur le caractère d’une identité. — tld. Équation à'une inconnue. Deux espéras d’équations. — 116. Ce qu'un appelle r^udre une équation. Solution d’une équation. Vérification d’une équation. Ce qu’on appelle équation du premier degré. Ce que suppose cettedéfinilion. — 117. Principes relatifs à la résolution des équations du premier degré à une inconnue. Transformations qui en dikoalent. Transposition d’un terme d’un membre dans un autre. — 118. Règle relative à cette transformation. Évanouissement des dénominateurs. — 1 19. Règle relative àcette transformation. — 120. Résolution, des équations numériques. — 121. R^olution d’une équation qui n’admet pas de solution. — 122. Résolution d’une équation qui admet une infinité de solutions. Définitions. Équation délernnnée. Équation impossible. Équation indéterminée. Ces différents cas seront plus tard l’objet d’une discussion approfondie. — 123. Résolution des équations littérales. Exemples. — 124. Règle générale pour résoudre une équation du premier degré numérique ou algébrique à une seule inconnue. — 123. Résolution des problèmes. Piécepte de Bezout pour mettre un problème en équation. — 120. Remarque sur certaines conditions qui ne sont pas susceptibles d’élro exprimées dans une équation. — 127. Problèmee résolus.

Définitions.

114. Une identité est une égalité dans laquelle les deux membres deviennent les mêmes quand on a effectué dans chacun d'eux les opérations indiquées.

NOTIONS PHELIMINAIRES.

On distingne deux espèces d’identités ; les-identités numériques et les identités algébriques. L’égalité 7 — 2-fl2-t-l=3x6 est une identité, car 7— 2-}-12-fl=18 et 3X6=18. L’égalité (a-(-i}*=a’-(-2aft-t-t<’ est une identité, car le second membre renferme le résultat du calcul indiqué dans l'autre; en sorte que l’on peut prendre l’un pour l’autre.

Remarqde. L’identité (a-f-i)’=o’-|-2aô-t-6’ est évidemment vérifiée par des valeurs ;u-bitrairemcnt attribuées aux lettres a et b. En général, le caractère d’une identité algébrique est d’étre vraie, quelles que soient les valeurs des lettres qui y entrent.

Ittt. Une équation k une inconnue, est une égalité dans laquelle une lettre représente une inconnue, tandis que tout le reste est connu ou censé connu.

On distingue deux espèces d’équations : les équations numériques et les équations littérales ou algébriques.

Dans une éipiation numérique il faut trouver un nombre qui, mis à la place de riaconnuc, transforme cette équation en une identité.

Dans une équation littérale il faut trouver une quantité algébrique qui , mise à la place de l’inconnue , la transforme eu une identité.

116. Résoudre une équation, c’est trouver une valeur pour l’inconnue.

Celle valeur porte le nom de solution de l’équation.

On dit aussi de cette valctur qu’elle satisfait à l’équation , ou bien qu’elle vérifie l’équation.

En conséquence, pour vérifier une équation, on substitue la valeur de l’inconnue à la place de la lettre qui la représente, et l’on effectue les opérations indiquées.

On dit qu’une équation est du premier degré lorsque , réductions faites, l'inconnue y entre au plus à la première puissance.

Reuarque. Cette définition suppose que l’inconnue ne se trouve ni en dénominateur, ni sous un radical.

BtaOLUTIOM DI» BQUATIOKS DU PBSMIBH DIfiRi. 87.

Princi|>es relatirs Si la résolution des équation» du premier degré à une inconnue.

117. Si l'on se reporte aux numéros 15 et 16 de l’introduction, on verra que pour résoudre chacune des équations J?-f-a;-|-7=63, ar-f-a:-|-ô=«, nous.lcur avons fait subir certaines transformations; ce sont ces transformations auxquelles nous allons donner une plus grande précision et surtout une plus grande extension. '

' Si deux quantités sont égales, et qu'on leur fasse subir les mêmes opérations, on obtient des quantités égales, car c’est comme si l’on faisait deux fois la même série d’opérations, ce qui doit • donner deux fois le même résultat. En conséquence, on peut,

1" Augmenter ou diminuer les deux membres d'une équation d'un même nombre.

2° Multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par un même nombre.

Ces principes donnent lieu aux deux transformations suivantes sur lesquelles repose la résolution d’une équation du premier degré :

1° Transposer un terme d'un membre dans un autre.

1° Chasser les dénominateurs ( ou faire évanouir les dénominateurs ) qui peuvent se trouver dans cette équation.

•- ' TransiiosUlon d'un terme. * .