DANS LA RÉSOLCTION DES ÉQUATIONS

inuIliplioDS [1] par ci, [2] par —a, et ajoutons il viendra

[3] {ab' — 6o')y = ac' — ca!

multiplions ensuite [1] par b', [2] par — 6, et ajoutons, nous aurons

[4] {aV — bd)x = cV — bc'.

Or, le système des équations [l] et [2] est équivalent au système des équations [3] et [4] , ce qui ramène la question à la résolution de deux équatfons , chacune du premier degré à une inconnue; il n’y a donc qu’une seule valeur pour y, une seule valeur pour x , et par conséquent qu’une seule solution pour les équations proposées.

195. Remaeques. I. Le seul cas qui fasse exception à ce que nous venons de conclure, est celui où l’on aurait ab' — ôo'=0, puisque la division parât' — ba' qu’exige la résolution de l’équation [3] ou [4] est subordonnée à l’hypothèse que ce facteur n’est pas nul 117; aussi, ce cas sera-t-il l’objet d'un examen spécial.

II. La justification de la méthode des coefficients indéterminés est renfennée dans le théorème 192; il suffit d’y faire n=l, n'= 1 et de prendre pour »i et m' les valeurs de l’indélerminée qui , dans la méthode de Bezoul , annulent successivement les coefficients des inconnues.

III. La conséquence du n* 194 nous apprend qu’un système d’équations à deux inconnues peut être remplacé par l’une d’elles et par l’équation que l’on obtient en éliminant entre elles l’une des deux inconnues; donc, si entre deux équations quelconques on élimine une inconnue en les ajoutant après les avoir multipliées respectivement par des nombres convenablement choisis pour faire disparaître cette inconnue, la nouvelle équation ainsi obtenue, prise conjointement avec l'une des proposées, forme un système équivalent à celui de ces équations.

196. Cette dernière remarque permet de démontrer l’équivalence du système de n équations du premier degré , avec le système des n autre? équations obtenues, excepté une, par des éliminations successives , conformément à la règle de résolution énoncée au n" 141.

202 DD CiEÀCTÈaE DES BONNES VÜ.EÜBS

Soient , pour fixer les idées, les quatre équations

[1] (uc-\-by -\-cz-\-du=e,

[2J eix-\-b'y-\-c'z-\-<ïu — e\

L’élimination successive de u entre la première de ces équations et toutes les autres conduit à des équations de la forme

[5] fx-\-gy-\-hz=ik,

m . rx+g"y-Vh'z = y.

Cela posé, le système des équations [1] et [2] est équivalent au système des équations [1] et [5] n° 104; le système des équations [1] et [3] est équivalent au système des équations [1] et [6]; le système des équations [1] et [4] est équivalent au système des équations [1] et [7]; d’où il suit que le système proposé est équivalent au système formé de l’équation [1] et des équations [5], [6], [7].

On démontrerait de môme que le sjstème des équations [5] , [6], [7]. est équivalent à un système d’équations de la forme

[5] fx+gy+hz=k,

[8] lx-{-my=p,

de même le système des équations [8] et [9] est équivalent à un système de Informe

[8] te-f-wiy=p,

[10] qx = r\

donc, enfin, le système proposé est équivalent au système

[1] ax-^by-\-ez-\-du=ze,

[5] fJ0-\-gy-\-hz=l^

[8] lx-\-my=p,

[10] qx=r.

DAXS LA BLÉSOLtmOi'* DES iQUATIONS. 203

La dernière ne renferme qu’une inconnue; ravaiil-dernière en renferme deux; la précédente trois, et enfin la première les renferme toutes.

197. CossÉQCENCE. Vn système de n équations du premier degré à n ineonnues , admet en général une solution , et n‘en admet qu’une.

198. Remarque. Si par un moyen quelconque on déduit de n équations du premier degré à n inconnues une équation qui ne renferme qu’une seule inconnue , x par exemple , elle donnera la valeur de cette inconnue ; comme x ne peut avoir qu’une bonne valeur, et que l’équation du premier degré en X n’a, eu général, qu’une solution, il en résulte que celte équation donnera la bonne valeur de x.

D’après cela, toutes les méthodes d'élimination que nous avons enseignées donnent les bonnes valeurs des inconnues, et chacune de ces inconnues pomrait être obtenue par des méthodes différentes.

DISCÜSSION DES ÉQUATIONS DD PBEMIBR DECEÉ