Pemière règle. Si, dans une équation, de degré n

la valeur absolue du plus grand coefficient négatif est N, et si n est la différence entre le degré de V équation et celui du premier terme négatif, 1 + y^^ est une limite supérieure des racines positives.

En effet, si Ton substitue à a?, un nombre l, tel que, pour cette valeur et pour toute valeur plus grande, le premier membre de l'équation reste constamment positif, l sera évidemment une limite supérieure des racines positives. Or, pour satisfaire à cette condition, il suffît évidemment de choisir /, de manière h vérifier l'inégalité

[1] a;»" — N(a;'"-"+ aj^^-^-^H- .. . + a;-|- 1 )>0 ;

car nous avons supprimé, d'une part, tous les termes positifs qui pouvaient exister entre a?'" et a?*^"; et nous avons, deTautre,

remplacé, dans tous les termes suivants, chaque cojinciciit par — N. L'inégalité [1] équivaut à

ou à [2] x'^ix — l) — W^x"^-"^'— 1) >0,

parce qu'on peut toujours supposer aj>l. Or cette dernière inégalité sera vérifiée, si l'on satisfait à cette autre,

[3] x'^{x — 1) — Na;"'-'»+* >0,

que l'on obtient en diminuant le premier membre. D'ailleurs, en divisant par a?"»-»^! les deux membres de l'inégalité [3], celle-ci devient :

et elle sera vérifiée, si l'on a :

(a;— i)»»-i(a;— 1)— N>0, ou (a;— 1)« — N>0.

Il suffira donc de choisir x, de manière à vérifier l'inégalité

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si le premier terme négatif est le terme en a;*^*, on a n = 1 ; et la limite devient, dans ce cas, 1 +N.

209. Deuxième règle, donnée par Newton. Tout nombre l, qui rend positifs le jJremier membre (Tune équation f(x) ^=Qet toutes ses dérivées^ est une limite supérieure des racines positives.

En effet, si l'on diminue de l chacune des racines de l'équation, en posant v = a? — /, ou x=l-\-y, l'équation devient;

f{i+y)=m+m)y+ni) ^ +...+r^(o 172^, - 0.

Or, par hypothèse, tous les coefficients f{ï), f{l)J"{l) . . . /^(/) sont positifs; aucun nombre positif, substitué à y, ne peut donc vérifier cette équation, qui n'a, par conséquent, pas de racines positives. En d'autres termes, toutes les racines réelles sont

négatives ; ; et, par suite, toute valeur réelle de x est plus petite que l. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Pour appliquer cette règle, on range les fonctions dans Tordre suivant :

r{x), r-\x), r-\x),... rw, m-,

comme ("^{x) est égal à 1.2. 3... m, et est, par suite, toujours positif, on choisit d'abord le plus petit nombre entier qui rend positif f^-^x). On substitue ce nombre dans f^^x)-, et, s*il le rend négatif, on l'augmente d'une ou de plusieurs unités, jusqu'à ce que f^\x) devienne positif. Puis on substitue le nouveau nombre dans /^-'(a?) ; et l'on fait en sorte, en l'augmentant si cela est nécessaire, que /*"-'(a;) prenne à son tour une valeur positive. On continue ainsi pour toutes les fonctions jusqu'à /(oj). Le nombre l qui, après toutes ces substitutions, rend f{x) positive, est le nombre cherché.

Supposons, en effet, qu'un nombre a, obtenu par cette méthode, rende positifs f-^x), f"'-\x),... r""(^), il est facile de voir que le même nombre, augmenté d'un nombre quelconque h d'unités, ne cessera pas de rendre positives les mêmes fonctions. Il suffit, pour le prouver, de remarquer que l'on a, en général :

f\a + h) = na) + r\a)h + P^\a) ^ + r\a)

et, si fP{a), p+^(a), f^-^\a)..., sont positifs, comme h est aussi positif, il en résulte que f^{a -\- h) est nécessairement positif. En faisantjp=m — 1, on reconnaîtra d'abord que, f^-^a) étant positif, il en sera de même de f^-^a-^-h). Puis, en faisant p = m— 2, on verra que /■"'-^(a) et f"^\a) étant positifs, il en sera de même de /"»-*(a -|- h), et ainsi de suite.

210. Troisième MÉTHODE. On peut enfin, en partageant le premier membre de l'équation en groupes de plusieurs termes, déterminer une limite supérieure des racines. Soit, par exemple, Téquation :

Groupons les termes de la manière suivante:

x\x^ — 12) + lx%x' — 7) + 52 ^a; - -\= 0.

Il est évident que le nombre 4, substitué à x, rendant positif chacun des groupes, est une limite supérieure des racines. De même, les termes de l'équation

a;* — bx^ + ^lx"^ — 3a; + 39 = 0

peuvent se grouper ainsi :

Or le trinôme x"^ — bx-j-7, ayant ses racines imaginaires, est positif, quel que soit x; d'ailleurs le second groupe est ^positif pour x = \; donc 1 est une limite supérieure des racines.

On voit que l'artifice consiste à disposer les termes, de manière que chaque groupe commence par un terme positif, et à cbercher le plus petit entier qui donne le signe + à chacun de ces groupes.

211. Remarque. La première méthode aurait donné 1 + v/49 ou 8 pour limite des racines de la première équation, et 1 -f- 5 ou 6 pour limite des racines de la seconde.

Pour appliquer à la première la méthode de Newton, on a :

f{x) = 0^ + Ix'' — I2x^—k9x^ -{- b2x— 13 f(x) = 5a;* + 28a;'— 36x^ — 98a; +, 52

j^ f'\x) = 1 Oa;' + 42a;2 - 36a; — 49 ~ f"'{x) = 1 0a;2 + 28a; — 12 ^^r(^)=.5a; + 7

198 LIVRE m.

On voit que tout nombre positif rent^/"'" (a;) positif; que 1 rend positif n^), que 2 rend positifs f'{x) et f\x), et qu'enfin 3, qui rend positifY(ir), est une limite supérieure.

Pour appliquer la même méthode à la seconde, on a :

f{x) =x''—hx^-\-?>lx'^ — 2>x + Z'è f{x) = 4a;' — 1 5rc2 [. 74^; __ 3

~m=kx^^

On voit que 2 rend positifs /"'(«), /""(^), f\x), et f{x). Dôbc 2 est une limite supérieure.

212. Limite inférieure des racines positives. On pose a; = - dans l'équation, et l'on cherche une limite supérieure l

des racines de la transformée : il est évident que j sera une limite inférieure des racines positives de la proposée. Car si l'on a ?/ < /, on en conclut a? > ^.

215. Limites des racines négatives. On pose x = —y, et l'on cherche les limites supérieure et inférieure, l et l', des racines positives de la transformée: — Z et — ^' seront les limites inférieure et supérieure des racines négatives de la proposée. Car, si l'on a :

i>y>i', on en conclut: — /<a;< — /'.

§ iL Recherche des racines commensurables. 214. On peut obtenir par des essais réguliers et fort simples.

les racines commensurables d*une équation à coefficients commensurables.

Nous commencerons par montrer, que cette recherche se ramène à celle des racines entières; et, pour cela, nous établirons le théorème suivant :

Théorème. Une équation de la forme

[1] a;'»-f-Aia7^-^ + A2a;'"-2 + .. . + A„=^0,

dont le premier terme a pour coefficient V unité y et dont les autres coefficients sont entiers ^ ne peut avoir de racine conimensurahle fractionnaire.

Si, en effet, r est racine de l'équation [1], on a :

d*où Ton déduit, en multipliant tous les termes par 6*"-*, et en faisant passer tous ceux qui suivent le premier dans le second membre :

=— (Aia'^-^+Aaa"-^^-!-. . .+A«6-*).

Si Ton suppose, ce qui évidemment est permis, que la fraclion T ait été réduite à sa plus simple expression, a et & sont

premiers entre eux; la fraction — est, par conséquent, irréductible, et ne peut être égale à un nombre entier. Il est donc impossible qu'elle soit égale au second membre, dont tous les termes sont entiers; et, par conséquent, il est impossible que

l'équation [1] admette une racine de la forme t. Les seules racines commensurables, qu'elle puisse avoir, sont donc entières.

213. Corollaire. Une équation, à coefficients entiers, étant donnée, le théorème précédent permet de la transformer, de manière que toutes les racines commensurables deviennent entières.

Soit, en effet, l'équation

Ao?- + A,a^-* + . . . + A^,a; + xU = 0,

dans laquelle on peut supposer que A, A„... A„» soient des nombres entiers; car il est toujours facile de chasser les dénominateurs, en multipliant tous les termes par leur plus petit

multiple commun. Posons ^=T) ^ étant une nouvelle inconnue qui, évidemment, devra satisfaire à Téquation :

ou, en multipliant les deux membres par A*"-*,

l/"*+Air-*+A2A2y'»-^ + ... + A«A--* = 0.

Or cette équation a ses coefficients entiers, et le premier terme 2/*" a pour coefficient l'unité; les valeurs commensurables de y sont donc toutes entières. Il est évident, d'ailleurs, qu'elles correspondent aux valeurs commensurables de x; car la relation

y ^—■pj prouve que, x étant commensurable, il en est de même

dey.

Si nous pouvons obtenir les racines entières de l'équation en y y d'après ce qui précède, nous aurons toutes les racines commensurables de l'équation en x,

216. Conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre Elntier soit racine d'une équation a coefficients entiers. Nous avons vu comment la recherche des racines commensurables peut se ramener à celle des racines entières. Il nous reste donc à montrer, comment on peut obtenir les racines entières d'une équation à coefficients entiers.

Soit l'équalion

[1] Aa;»» + A,a;^-*+A2^'"-2 + ...+A« = 0,

et a une de ses racines entières; le premier membre doit être

divisible par (a;— a). Représentons le quotient, qui est un polynôme du degré {m — 1), par

Pi, Ps. . . Pfl,-i sont évidemment des nombres entiers; car le premier terme du diviseur {x — a) ayant pour coefficient l'unité, la division ne peut introduire aucun dénominateur.

En écrivant que le dividende est le produit du diviseur par le quotient, on aura identiquement :

[21 {x- a) (Ao;-^ + l?,x^-' +...+Vm-,x + ?m-.^)

= Arc"» + Airr"-* + A,x^-' + . • . + A^-^o; + A„..

En effectuant les opérations indiquées dans le premier membre, et en égalant les coefficients des mêmes puissances de x, il vient :

m— 1 A m— 2^ ~~" -"m-l f.^, )Pm-2 Pm— 3^— - Ain-2J

\ Pl^Aa:=:Ai.

Tous les nombres, qui figurent dans ces formules, étant entiers, la première équation prouve que a doit être un des diviseurs de

Am, et que le quotient -^ est égal à — P^-i-

La seconde équation peut s'écrire :

Pm-2a — Am-1 — Pm-1 = Am-1 + -7 >

A,„ elle prouve que a doit être un diviseur de la somue km-i-\ — "*»

et que le quotient est — Pm-s»

La troisième équation peut s'écrire :

— Pm-ja = Am-2 — Pin-2 = A,„a H " .

Elle prouve que a doit être un diviseur de la somme

Al -"m

Am-\ H ^c'est-à-dire de la somme obtenue en aiou-

tant Atn-i au quotient précédent, et que le quotient est — P^3.

On peut continuer ainsi jusqu'à la dernière équation, qui , prouvera que le dernier quotient — Pj, augmenté de A^, doit être divisible par a, et donner pour quotient — A.

Ces conditions sont nécessaires. J'ajoute qu'elles sont suffisantes, pour que a soit racine; car, si elles sont remplies, on pourra trouver des nombres P^i, P„,2. • . Pi, qui rendent identiques les équations [3] ; et, par suite, le premier membre de la proposée sera divisible par (a? — «).

On peut remarquer que les opérations, à l'aide desquelles on s'assure qu'un nombre a est racine, font connaître les coefficients du quotient de la division du premier membre par {x — a). Ces coefficients P„,i, Pm-s, . . . sont égaux, en effet, aux quotients, changés de signes, des différentes divisions, dont la réussite est nécessaire pour que le nombre a ne soit pas rejeté.

217. Recherche des racines entières. Il résulte de là que, pour trouver les racines entières d'une équation telle que [1], on devra chercher d'abord les diviseurs entiers, positifs ou négatifs, du dernier terme : eux seuls peuvent être racines. On déterminera ensuite la limite supérieure des racines positives et la limite inférieure des racines négatives ; et l'on rejettera tous les diviseurs qui ne seront pas compris entre ces limites. Si a est un des diviseurs qui restent, pour l'essayer, on divisera le dernier terme Am par «, et l'on ajoutera au quotient le coefficient Am-i : la somme devra être divisible par a. On formera le quotient; on y ajoutera Am-2 '- la somme devra encore être divisible par a; et en continuant ainsi, on devra trouver un quotient qui, ajouté au coefficient du second terme, et divisé par a, donne pour dernier quotient — A.

218. Moyen de diminuer le nombre des essais. On peut diminuer le nombre des essais à faire par la remarque suivante. Si a est une racine de l'équation

[1] Ax''' + AiX"'~'-i-A^x'"-^ + ...km = 0,

le premier membre de cette équation est divisible par (x — a); et les coeffleients du quotient sont tous entiers, ainsi qu'on l'a exposé plus haut. Si donc on attribue à x une valeur entière quelconque, la valeur numérique du premier membre de [1] sera divisible par la valeur numérique de (x — a). Or les valeurs les plus simples, que Ton puisse attribuer à a;, sont 1 et — 1. Si donc on nomme Q et Qi les valeurs correspondantes du premier membre de [1], on ne devra essayer a, que si, d'une part, Q est divisible par (l~a),ou,enchangeant lesig-tu%par (a — 1); et que si, d'autre part, Qi est divisible par (—1 — a), ou, en changeant le signe, par (I +«).

219. Application de la méthode précédente. Voici la manière la plus avantageuse de disposer les calculs :

Aj, A», . . . Am—li Am— lî Am 1

A, ri, . . . rm—zy 1 m— 2> ^m-ij ^»

J'écris, sur une hgne horizontale, les coefficients de l'équation proposée, à partir du second, et dans une colonne, à droite, le diviseur à essayer a. Sur la môme ligne que a, et en allant de droite à gauche, j'écris au-dessous de A,», A^-i . . . , les quotients, changés de signes, Vm-u Pm-2 •••» calculés comme il a été dit (2 IG). Si tous ces quotients sont entiers, et si, en outre, le nombre écrit sous Al, est + A, a est racine; et A, Pi, Po. . . , Pm-i sont les coefficients de l'équaiion débarrassée d^ la racine a. Il n'y aura donc plus alors qu'à opérer sur cette seconde ligne comme sur la première. Si quelques-unes des divisions ne peuvent se faire, on passera à un autre diviseur.

Exemple. /" (a;) =a;*— 2a;3— 19a;^ + 68a; — 60 = 0*

2 est racine

2 est racine

3 est racine — 5 est racine

60 admet 24 diviseurs; mais on trouve, parla règle de Newton, que toutes les racines sont comprises entre 4 et — 6. On ne doit donc essayer que les diviseurs de 60, plus petits que 4 et plus grands que —6. On commence par essayer + 1 et — 1, en les

204 LIVRE m.

substituant directement à la place de x : aucun d*eux n*est racine ; mais ce premier calcul nous apprend que f (1) = — 12, et que /( — 1) = — 144. Dès lors on ne doit, parmi les diviseurs positifs, essayer que ceux qui, diminués de 1, divisent 12, et qui, augmentés de 1, divisent 144; et, parmi les diviseurs négatifs, on ne doit essayer que ceux dont la valeur absolue, augmentée de 1, divise 12, et, diminuée de 1, divise 144.

Le diviseur 2 satisfaisant à ces conditions, on Tessaye : on trouve que 2 est racine, et que l'équation, débarrassée de celte racine, est :

Comme 2 divise 30, on Tessaye de nouveau; et l'on continue de la même manière, en n'opérant que sur les diviseurs qui satisfont aux conditions précédentes, et qui, en outre, divisent le terme tout connu de la dernière équation simplifiée.

Tout calcul fait, on trouve que l'équation proposée a pour racines 2, 2, 3, — 5, et que son premier membre est égal h

RÉSUMÉ

207. Ce qu'on nomme limite supérieure ou inférieure des racines positives ou négatives d*une équation. — 208, 209, 210. Diverses règles pour trouver une limite supérieure des racines. — 2H. Applications. — 212. Limite inférieure des racines positives. — 215. Limites des racines négatives. — 214. Si le premier terme d'une équation a pour coefficient l'unité, et que les autres coefficients soient entiers, les racines commensurables sont toutes entières. — 21^. Le théorème précédent permet de transformer une équation, à coefficients rationnels, en une autre dont les racines soient entières. — 216. Conditions nécessaires et suffisantes, pour qu'un nombre entier soit racine d'une équation à coefficients entiers. — 217. Recherche des racines entières. —