CHAPITRE VII. — RÉALITÉ DES RACINES. 3l
il suffit alors de montrer que ^ est positif, lorsque a, y, D sont positifs. Exprimons la valeur de D, fournie par Tëquation (4), en fonction de a, p, y, il vient
D étant positif, a^ — y est donc certainement positif; si donc on pose
on aura
et, par suite, en supposant o positif,
a > 0, et
27D = 4S6('2aû« — 3)«.
D'après cela, D ne peut être positif, si ^ est négatif; car, lorsque
[i est négatif, on a
aao* — p> 2ao*>2o';
donc 42° — (2a82 — ?)^ ^st négatif.
Les conditions (5) et (6) sont donc bien équivalentes.
D'après l'interprétation géométrique donnée au § 84 l'équation ^ = 0 représente une surface du troisième ordre, contenant la parabole 6=0, y = o •, si l'on considère des valeurs négatives de a, la partie correspondante de cette surface est tout entière dans la région de l'espace pour laquelle D est négatif.
Pour donner enfin un exemple relatif à l'équation du cinquième degré, considérons l'équation
Dans les formules générales du § 79, ou dans les équations (2) et (3) du § 80, il faudra remplacer les coefficients
«0» «î> «îî «3, ^V' «5
par
3l4 LIVRE II. — LES RACINES.
le (lélerniiûant du bezoutiant est alors
tia
JU
Le (liscriminaDt de réquation esl égal à
D — loSa — 3i-.i5a^.
Lne chaîne de mineurs principaux esl alors
ia, I
Le discriminant sera négatif, si
3/ in8
il sera positif dans tous les autres cas et, en particulier, pour toutes les valeurs positives de a. Quand le discriminant est positif, la suite (8) présente toujours deux variations; quand le discriminant est négatif, ce qui entraîne a <I o, il n'y a qu'une seule variation.
Donc, lorsque a se trouve dans l'intervalle (9), notre équation a deux racines imaginaires; quand a est extérieur à l'intervalle, elle a quatre racines imaginaires ; elle n'a jamais quatre racines réelles.
Comme exemple purement numérique, considérons Téquation
X* J-' — 2 JT* — 9.x — i — o,
qui se présente dans la multiplication complexe des fonctions elliptiques. Les formules du § 79 donnent, pour le déterminant du bezoutiant, la valeur
fl^
