CHAPITRE VII. — RÉALITÉ DES RACINES. SOQ
le nombre des termes consécutifs^ qui sont nuls à partir du premier, soit aussi petit que possible; que, parmi les termes suivants, il rty ait pas deux termes nuls consécutifs; p est le ' nombre des termes nuls consécutifs à partir de R/,,, y compris R^; V est le nombre des variations de la suite; enfin, tz est égal à m — V — ? (*)•
Remarquons encore qu'on peul compter les variations de droite à gauche dans la suite (lo) ; on trouve donc le même nombre de variations, lorsqu'on renverse l'ordre des termes de la suite.
Soient donc t:, v, p les nombres caractéristiques de la forme cp ; considérons la forme
on peut déterminer ^ de telle sorte que le discriminant de ^' ne s'annule pas pour toute valeur de e. Les nombres caractéristiques de o' sont alors r! , v', o, et l'on a
(il) Tr'-h v'= TU -f- v-f- p.
Dans la formule (7), on a alors
mais X;„p, . . . , X< sont différents de zéro.
e étant pris assez petit, les m — 0 derniers termes de la suite des mineurs principaux de (9) ont même signe que les termes de la suite
* 1 ^i > ^1 ^1» • • • » Aj Aj . . . A/rt— p *,
le nombre des permanences de cette suite est donc au moins égal au nombre des \ positifs, et le nombre des variations au moins égal au nombre des X négatifs. Il en résulte
(19.) ^' = 'îî, V'^V.
(') Consulter à ce sujet la Note de Gundelfinger dans la troisième édition de la Géométrie analytique ait Hesse; vo<> aussi Frobenius, Sur la loi d'inertie des formes quadratiques {Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin, 189^). M. Frobenius indique un procédé pour déterminer dans certains cas la signature, c'est-à-dire la diftérencc 1: — v, à l'aide de la suite (lo), lorsque des termes quelconques de cette suite sont nuls, de manière ik éviter, ou du moins à restreindre, l'arrangement préalable des indices.
Appelons forme positive toute forme o ayant pour nombres caractéristiques tc = m, v = o, p = o ; ce sera la somme de n carrés positifs de formes linéaires indépendantes; aucun des mineurs principaux d^une forme positive ne peut être nul. En effet, une forme positive ne peut s'annuler pour aucun système de valeurs réelles des variables, sauf si toutes ces valeurs sont nulles. Lorsque le mineur principal R^ est nul, la fonction de k variables
o(a7i, arj, . . ., a-ji-, o, . . ., o),
dont le discriminant est égal à R^, peut s'esprimer à Faide de fonctions linéaires des quantités Xf, jr^, • • •, x^^ en nombre moindre que n] soient y<,j^2î •••j^*-» ^^s fonctions; la fonction (p s'annule donc pour
y\ = Ot yi = o, . . . , Yk-i — o, xji-i-i = o, . . . , Xm = o;
c'est là un système d'équations linéaires qui peut être vérifié par des valeurs des variables qui ne sont pas toutes nulles. Donc :
VII. La condition nécessaire et suffisante pour qi£une forme soit positive, est que les termes de la suite (lo) soient tous positifs.
On obtient le théorème correspondant pour une forme négative, en appliquant le théorème VII à la forme — '^. Les formes positives et négatives se désignent aussi sous le nom àe formes définies,
§ 90. — Application au bezoutiant.
La discussion détaillée, que nous venons de faire, de Tinertie des formes quadratiques, avait pour seul but de déterminer le nombre des racines réelles et imaginaires d'une équation algébrique, en comptant le nombre des carrés positifs et négatifs de son bezoutiant.
Soit n le degré de l'équation; son bezoutiant est une forme quadratique k n — i variables ; nous l'avons formé entièrement (§ 79) pour /i = 3, 4» 5 ; nous avons aussi fait connaître la manière dont on peut le calculer dans d'autres cas.
CHAPITBE TH. — RÉALITÉ DES RACINES. 3ll
Nous avons fait remarquer anlérieurement, que le bezoutiant n*est pas une forme quadratique de l'espèce la plus générale, mais qu'il possède cette propriété particulière que le nombre v
de ses carrés négatifs n'est jamais supérieur à-. Cette particularité doit pouvoir s'exprimer par certaines inégalités de condition entre les coefficients, lesquelles ne sont pas connues pour le moment. Ce n'est que pour n= 3 que nous pouvons indiquer les conditions algébriques qui caractérisent cette restriction. Le bezoutiant de l'équation du troisième degré
/(x) — aQx"^ -~ flfi.r* -+- axx -h as = o
n'est autre [§ 79, (i3)] que le covariant hessien (§ 68)
Soit D le discriminant; il vérifie la relation
3Dr^4AoA2-AÎ; on sait [§ 68, ( i), (12)] que l'on a
4Hî-^Qî-f-27D/J = o; par suite, si l'on fait ^u = o,
(I) 4AJ -h^J -h'27DaJ r-o,
en posant
<7o = ^.jajaa — cjaoaiasH-artJ.
Cette relation montre que Ao et D ne peuvent être positifs simultanément; donc, la forme — H ne peut être décomposée i*n deux carrés négatifs.
Appliquons encore le théorème général du paragraphe précédent à l'équation du quatrième degré, que, pour plus de simplicité, nous prendrons sous la forme
{->.) x^-\- ax'^ -^bx -r- c = o.
Pour former les coefficients du bezoutiant^ il suffit de remplacer dans les équations (i4) du § 79 les quantités ^o, ^i, a-^y a^, a^
LITRB II. — LKS RACINES.
par I, o, a, 6, r. Il vient alors
B|,t — — ■>«» Bi,i=a*— îc, Bo,o Bo,i=Ja6, Bî,o=— 4c, B,,j
Écrivons le délerminant sous la forme suivante :
'xa
Ja6 — 4:(8rtc — 36*)
La chaîne des mineurs principaux est alors
D, — !3ta'-f-8ac — 96', — xa, 1,
13 désignant le discriminant, lequel [§ o3, (i3)] est donné par Téquation
•xyD = 4 (a* -h I2C)' — (2a' — yiac -^ 276*)'.
Les conditions de réalité de toutes les racines sont donc
D > o, — 2a»-i-8ac — 96* > o, — 2«>o.
('es conditions diffèrent de celles établies au § 81, savoir
(ft)
D > o, AT < o, a*— 4c>o,
et semblent en tout cas moins simples.
Nous allons démontrer qu'elles sont équivalentes. On voit de
suite que les conditions (5) entraînent les conditions (6)^ car
l'expression
— ia{a^ — 4 c) — 96*
ne peut être positive, si a ei a^ — ^c sont négatifs. Pour démontrer la réciproque, que les conditions (6) entraînent les conditions (5), il faut tenir compte de la valeur de D. Posons, pour abréger,
(7) a= — 2a, p = — 6a3-i- 9.îac— 276*, Y=3a*— 12c;
les conditions (5) s'écrivent alors
les conditions (6)
