LE THEOREME DE STURM

§ 91. — Le problème de Sturm,

La détermination du nombre des racines réelles d'une équation, question traitée dans le Chapitre précédent, est un cas particulier d'un problème plus général qui va former l'objet de ce huitième Chapitre; c'est le principe de toutes les méthodes pour le calcul des valeurs numériques approchées des racines.

La question à résoudre est la suivante :

Combien y a-t-il de racines réelles d'une équation numérique entre deux nombres donnés a et b?

Ce problème résolu, il s'agira de restreindre l'intervalle (a, b) de telle sorte que les nombres a et b ne comprennent plus qu'une seule racine, et cela de telle manière que chacun des nombres a et b puisse être considéré comme une valeur approchée de cette racine.

En supposant a = — oo, 6 = -f- oo, c'est-à-dire a négatif, b positif, et suffisamment grands en valeur absolue, pour qu'en dehors de l'intervalle (a, b) il n'y ait plus de racines de l'équation, le nouveau problème revient à celui de la détermination du nombre de toutes les racines réelles d'une équation.

Montrons d'abord comment le nouveau problème se ramène à l'ancien, de quelle manière il est résolu, au moins en principe, par les considérations du Chapitre VIL Cherchons d'abord le nombre des racines positives d'une équation y(jc)= o. En posant a:=jr*,

CflÀPITRE TIII. — LE TflÉORÈME DE STURM. Si"

à chaque valeur réelle dey correspondra une valeur posllive de x, et inversement à chaque valeur positive de a: correspondront deux valeurs de^, de même valeur absolue et de signes contraires. Le nombre des racines positives de réqualiony(^) = o est donc égal à la moitié du nombre des racines réelles de l'équation /(^2)-q

Posons maintenant

X variant de a à 6,^ variera par valeurs positives de o à <x.\ f{x) étant devenu F(j'), l'équation y(a') rz: o aura autant de racines entre a et 6, que l'équation F(^')= o aura déracines positives; ce sera la moitié du nombre des racines réelles de l'équation F(:;^) = o. Notre problème est ainsi ramené à la détermination du nombre des racines réelles d'une équation dont le degré est double de celui de l'équation proposée. Mais celte solution n'est pas la plus simple; c'est une telle solution que nous allons rechercher.

§ 92. — Les suites de Sturm.

Soient a et p (a<C^) deux nombres réels quelconques; soit f{x) une fonction rationnelle donnée de jc; on demande combien elle a de racines réelles dans l'intervalle A compris entre a et ,3. Par hypothèse, a et (3 ne sont pas racines Ae f{x)^ de sorte que /(a)et/(p) ne sont pas nuls. De plus, nous supposerons que /(j;) n'a pas de racines multiples dans l'intervalle A; par suite, aucune valeur de cet intervalle n'annulera à la fois/(j:) et /'{x).

Supposons que, par un procédé quelconque, nous ayons formé une suite de (m -+- i) fonctions continues

possédant les propriétés suivantes :

I. Deux fonctions consécutives ne s'annulent pas pour une même valeur de V intervalle A.

II. La fonction fm{^) ^^ s'annule pour aucune valeur de l'intervalle A, et conserve par suite un signe constant pour toutes les valeurs de l'intervalle.

3l8 UTIE II. — LES lACI3nKS.

III. LorsqiC une fonction intermédiaire f^(x) s'annule pour une valeur de V intervalle, les fonctions voisines f^i( x) et f*^\\^) acquièrent pour cette même valeur de x des signes contraires.

IV. Lorsque fi x) s'annule pour une valeur de V intervalle, /"i (x » acquiert le même signe que f'( x\.

La suite (K), jouissant de ces propriétés, s^appelle une suite de Sturni. Nous verrons plus tard comment on peut la former; pour le moment^ tirons quelques conséquences de sa définition.

Pour chaque valeur de x qui n*annule aucune des fonctions de la suite, ces fonctions ont un si^^ne déterminé. Nous compterons une variation chaque fois qu*en parcourant la suite de gauche à droite on trouve deux termes consécutifs de signes contraires, et nous désignerons par V(j') le nombre des variations correspondant à la valeur considérée Aex. Lorsque la valeur considérée de x annule une fonction intermédiaire f{j^)^ il J aura certainement une variation entre /"v-i (j") et /'v+i(j^) (l'ï)-

Soient a et ^ deux valeurs qui n'annulent aucune des fonctions de la suite; x croissant d'une manière continue de a à ^, il ne pourra se produire un changement dans le nombre des variations de la suite K, que lorsqu'une des fonctions change de signe, c'està-dire passe par zéro, en vertu de l'hypothèse de la continuité de ces fonctions.

Si une fonction intermédiaire s'annule, le nombre des variations ne change pas; en effet, quand f devient nul, yi, et f^i acquièrent des valeurs de signes contraires; la suite

yv— Il yv» yî

ne présente donc qu'une variation, soit avant, soit après le passage de^v par zéro.

Lorsqu'au contraire /(x) s'annule, la suite perd une variation. Si, en effel^f{x) passe d'une valeur négative à une valeur positive, /'(x), et par suite y<(j:), sont positifs; si, au contraire, /(x) passe d'une valeur positive à une valeurnégalive, /'(jt) et par suite /"i (x) sont négatifs; dans les deux cas f(x) el f{x) présentaient une variation avant le passage par zéro et n'en présentent plus après. Il y a donc bien une variation perdue.