CHAPITRE TIll. — LE THÉORÈME DE STLRM. Sig

D'autre part, fm{^) conserve un signe constant; il en résulte (jue le nombre des racines comprises entre a et j3 est égal à

Le nombre des racines de V équation f[x) = o comprises entre net ^ est égal à V excès du nombre des variations que présente la suite pour a: = a sur le nombre des variations quelle présente pour a: = [i.

Si les nombres aou [3 annulent Tune des fonctions intermédiaires, on ne change rien au nombre des variations en remplaçant le nombre nul/v par un nombre positif on un nombre négatif (III).

§ 93. — Premier exemple : Fonctions sphériques.

Avant de passer aux méthodes générales qui permettent de former des suites de Sturm, prenons deux exemples dans lesquels de telles suites se présentent par suite de circonstances particulières.

Considérons en premier lieu les fonctions sphériques^ d'un usage très fréquent en Physique mathématique et en Mécanique.

On appelle ainsi un système de fonctions rationnelles etentières, de degrés croissants, définies par les équations suivantes :

Pw(x) est une fonction rationnelle et entière de degré /i; selon (pie n est pair ou impair, x n'y entre qu'avec des exposants pairs ou des exposants impairs. En employant le symbole !!(/?), on peut

aussi mettre la formule générale des fonctions sphériques sous la forme

(I) *^«^^^ -^ "^^T" n(jjL)ii(/i-2a)n(/i — |ji)'

la sommation devant être étendue de [x = o à toutes les valeurs de a qui rendent positif le nombre n — 2|x.

Ces fonctions satisfont aux relations suivantes qu'on vérifie aisément en se servant de l'expression (i) et en égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x :

(vî) nV J x) — {7.n — \)xV n-\{^ ) -^ {n — i)V n-i{r) = o,

(3) (I — J-«)P;(XJ — /IJ7Pn(x) — /lPn,(x) = 0.

Si, dans cette dernière équation, on fait x = lii i , il vient

-hP„(-zi) -.P„-,(±:i)

et, par suite,

Les équations (2) et (3) montrent que les fonctions

ordonnées à partir d'une valeur arbitraire de m, possèdent dans l'intervalle ( — 1,4-1) les propriétés d'une suite de Sturm. Si, en effet, P« et P«i s'annulaient pour une même valeur de x^ il en serait de même de P/i 2, d'après (2), et par suite de P/i 3, . . . , Po» ce qui est impossible puisque P^i^ i. La condition II du § 92 est donc satisfaite pour un intervalle quelconque.

L'équation (2) montre de plus que, P,/i s'annulant pour une certaine valeur de x^ P,, et P«2 sont de signes contraires; la condition III du § 92 est donc aussi vérifiée.

L'équation (3) montre que Vn{x) et P\^{x) ne sont jamais nuls à la fois, sans quoi P,,., {x) serait aussi nul; enfin, si P„(:r) s'annule pour une valeur de x comprise entre — 1 et -h 1 , P^,(^) ^^ P«-» (^) acquièrent des valeurs de même signe.

Remplaçons maintenant, dans la suite (5), x successivement par ( — 1) et (-H 1); l'équation {\) montre que pour ^ = i la suite ne

CflAPITRE VIII. — LE THÉORÈME DE STURM. 321

présente que des varialioos au nombre de m ; pour x =^ — i , elle n'en présente aucune.

Donc :

L équation Vm{x) = o, de degré m en x, a toutes ses racines réelles et comprises entre — i ei -+- i .

Nous pouvons encore aller plus loin. Soit A = (a, P) un intervalle contenant deux racines $ et v) de ?,„= o, et pas davantage. Dan.s le passage de a à p, la suite (5) perd donc deux variations. Choisissons a assez voisin de Ç, et ^ assez voisin de r^ pour que Pm i(a)soitdusignedeP„,<(i)etP;n,(i3) du signe de Pm i(T,). Si Pot passe d'une valeur négative à une valeur positive, lorsque^ atteint et dépasse i, il passera d'une valeur positive à une valeur négative, lorsque x atteint et dépasse r^ ; il en résulte que P^CO est positif, par suite aussi Pot-<($) et Pot-<(*); Je même P'^C^i) est négatif, et par suite aussi POT i(rj) et V„i-\ (P); ce serait l'inverse si Pot passait d'une valeur positive à une valeur négative, lorsque x atteint et dépasse \, Donc, dans le passage de a à ^, la suite P,„, Pot-i perd une variation; par conséquent, dans la même lijpothèse, et par suite aussi dans le passage de i ù r^, la suite

perdra une variation ; d'où cette proposition :

Entre deux racines consécutives de Inéquation Vm = o, il y a une racine et une seule de V équation Pot-i = o.

§ Oi. — Deuxième exemple.

Nous prendrons comme deuxième exemple une équation que, pour abréger, nous appellerons V équation séculaire, parce qu'on Ta rencontrée pour la première fois dans l'étude des perturbations séculaires des planètes (*). Elle est bien connue d'ailleurs sous ce

(') Laplace, Histoire de l'Académie des Sciences, 177^. Parmi les Ouvrages réconis, on peut consulter à ce sujet : Dziobkk, Théorie du mouvement des Planètes; Leipzig, 1888.

32 l LlfUE n. — LE5 KjIC15E>.

nom. nidls se préseole aussi dans beaucoup d'aalres problèmes, lel^ que la déleimînalion des axes des quâ Irîques. la ihéorte des petites oscillations: son importance au p>inl de vue analytique, réside dans ce fait qu'elle fournit une transformation partie uliè're, dile orthogonale^ d'une forme quadratique en une somme de carrés. \ous allons prendre Téqualion. sans écard à aucune application, et nous la discuterons à l'aide de nos théorèmes généraux. iJésignons par af l'i et A' parcourant la suite des valeurs i, 2 n 1 un système de grandeurs réelles, telles que

Considérons le déterminant symétrique

«I — Jr /ïj ... n"^

ii\ nl — jT... al

c*est une fonction rationnelle et entière, du do^ré n en x, dans

larjuelle le coefficient de jt" vaut • — i i". L\'qualion en question

est

Formons la chaîne des mineurs principaux, chani^ésdc signe de deux en deux à partir du second.

nous allons démontrer que c*est là une suite de Slurni, à condition de supposer que deux termes consécutifs de celte suite ne s^annulent pas pour la même valeur de x.

C'est là une simple conséquence d'une fornuile que nous avons déjà utilisée au § 88 dans un but analogue, et que nous pouvons écrire

( \ t Lu Sa- — ( Tj, i- = Ljt-i Li ^, ,

Sa et Ta étant des fonctions rationnelles et entières de x. îl nous suffira que les conditions I-IV du § 92 sont satisfaites. La condition I est vérifiée par hypothèse; la condition II est remplie, puisque le dernier élément est égal à =r i. La formule (4) montre