CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES. ^6g

§ 136. — Détermination de toutes les solutions de l'équation de Pell

à l'aide de la solution positive minima.

Soit (^, u) une solution de l'équation de Pell; l'expression

dont la valeur est égale à itz i , est la norme des deux nombres conjugués

Nous les appellerons les unités appartenant à y/lD. Si donc (^1, i/i), (t2j U2) sont deux solutions positives ou négatives de l'équation de Pell,

les deux nombres

dl = y V*=

ont pour norme itz i ; il en est de même de leur produit

A -A fi - ^»-^"^»V^ Oj = Oj Wj = •

Les valeurs de ^3 et Uz sont

ce sont donc des nombres entiers.

En effet, si D est pair, il en est de même de /» et ^3 ; si D est impair, /f eti/f sont de même parité, et, de même, ^2 ^t a^. O3 est

donc aussi une unité appartenant à y/D ; donc :

Le produit de deux (ou plusieurs) unités est encore une unité.

8 étant une unité quelconque, ± 6"* est l'unité conjuguée.

470 UTRE H. — LES mAClNBS.

Parmi les anîtës différentes de ±: i, il y en a toujours quatre qui

s^associenl, savoir

±0, zh e-t ;

Tune d'elles est positive et plus grande que i ; c'est celle qui correspond aux valeurs positives de t el u; une autre est positive et plus petite que i; les deux autres sont négatives. En désignant par (T, U) la solution positive minîma, le nombre

est la plus petite unité positive appartenant à ^D et plus grande que I. Nous allons prouver qu'en désignant par n un entier quelconque, toutes les unités appartenant à ^D se représentent par 0*. Montrons à cet effet que, pour n positif, cette expression représente toutes les unités plus grandes que i . Si 0| est une quelconque de ces unités, elle sera comprise entre deux puissances consécutives de 9, puisque ces puissances croissent indéfiniment avec n :

et, par suite,

i^eie-«<e.

Mais 6|9~~'' est aussi une unité; si donc Tégalité n'a pas lieu, 0|9~'* est supérieur à i et inférieur à 0; conclusion contraire à l'hypothèse que 0 est la plus petite unité positive supérieure à i; donc on devra avoir

ou