CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

Développons maîntenant la fraction -^ en fraction continue limitée

en choisissant n de telle sorte (§ 123, I) que Ton ait

Appelons ^p l'avant-dernière réduite, il vient

P«Q-P'Q«= + i; d'après la proposition II, § 125, on a

l'égalité avec la limite inférieure n'a lieu que pour /i= i, c'està-dire dans le cas du signe supérieur ; avec la limite supérieure que pour /i = 2, c'est-à-dire dans le cas du signe inférieur. Il en résulte, d'après III, § 126,

Q'=Q«-i, P'=P»-t, donc, d'après (lo),

donc [ao,ai,a2, •..,«„!] est une période de la fraction continue (0, dont on déduit, par les formules (4) et (5), la solution (^, u) de l'équation (7). Il est donc bien démontré qu'on trouve de celte manière toutes les solutions de (7).

On peut encore déduire de là quelques conséquences importantes. Soient {tj u)j (f^, U\) deux solutions de l'équation (8) ou (9), pouvant appartenir d'ailleurs à des équations différentes; on aura, dans tous les cas,

(i3) /« — <î>D(a«— wj) — 8.

Supposant w > ^4 , on aura

a* — mJ =(u — Ui){u -}- Ui)l2;

comme D est congru à zéro ou i (mod 4) et ne peut être un carré parfait, D est au moins égal à 5. On conclut alors de (i3) que t est supérieur à tt .

Donc, u croissant, il en esl de même de /; si donc u a la plus petite valeur positive possible, il en est de même de t. On peut donc parler d'une solution positive minima; nous la désignerons par T, U. On l'obtient, lorsque dans les formules (4) et (5) on prend pour n sa plus petite valeur le nombre v des termes de la période. Si donc v est pair, on ne peut résoudre que l'équation (g), non l'équation (8); si v est impair, on peut résoudre aussi bien l'une que l'autre. Comme ce fait ne peut dépendre que du discriminant D et non du nombre particulier (o, il en résulte que :

IX. Pour un discriminant donné, les différentes périodes contiennent toutes un nombre pair ou toutes un nombre impair de termes.

Si D est pair et par suite divisible par 4i il en sera de même de /, et tous les termes de l'équation (^) sont divisibles par 4- Si D est impair, ^ et a sont de même parité \ s'ils sont tous deux impairs, leurs carrés, comme ceux de tous les nombres impairs, soni congrus à i , suivant le module 8; il en résulte

D = 5 (modS).

Mais il n'est pas toujours possible, lorsque cette condition esl remplie, de résoudre l'équation (7) à l'aide de nombres impairs (*).

Si D ^^ I (mod. 8), il faut que t et u soient pairs.

Les exemples du § 134, traités de cette manière, donnent les solutions positives minima de l'équation de Pell; le facteur 4 a étr supprimé autant que possible.

( » ) Voir Caylby, Note sur l'égiiation x^ — Dy^ = ± 4, D - - 5 ( mod. 8 ). {Journal de Crelle, l. 53; Mathematical Papers, vol. IV.) — Degen a calculé cle< labiés pour la solution de l'équation de Pell sous la forme j^' = 00:?' -+- 1 (Canon- Pcliianus, Havniae^ '817). — La Théorie des nombres de Leoendre contient aussi une table analogue.