CHAPITRE XI. — FRACTIONS CONTINUES

De chaque irrationnelle quadratique

on peut déduire une forme quadratique déterminée, désignée (d'après Gauss) par

©(A,B,C) = ( — a,^6,c), ou =( — 2a,6,2c)

(suivant que 6 est pair ou impair); son discriminant est égal à y ou à D. Le nombre conjugué

donne la forme — cp, dont les coefficients sont opposés à ceux de «p. Les nombres (o et to' sont les racines de la forme y = o ou — cp = o. De même, — (o et — to' sont les racines de la forme <f'= (A, — B, C), opposée à <p.

Gauss réunit en une même classe les formes de même discriminant qui sont proprement équivalentes; reste à indiquer la relation existant entre le nombre qui représente la classe de Gauss et le nombre qui indique la classe de to, c'èst-à-dire le nombre des périodes appartenant à un discriminant donné. On y parvient à l'aide des propositions suivantes :

1. Pour que les deux formes ff et — <p soient improprement équivalentes, il faut et il suffit que V équation t^ — Da^= 4 puisse être résolue en nombres entiers.

Nous admettrons ce théorème comme démontré. On y parvient par la considération des périodes des formes réduites; on peut aussi, sans se servir de cette théorie, suivre la voie par laquelle on ramène la transformation d'une forme quadratique en elle-même à la résolution d'une équation de Pell.

2. Siiùet iù' sont proprement équis^alents, il en est de même de tf et de — «p.

C'est ce que montrent les formules (i5) (§ 130), en y faisant «1 = — a, 6i=^ — 6, Cl = — c, £ = i.

De ces formules, il résulte aussi que :

3. Si (0 et (!>' sont proprement équivalents, ç est impropre-

ment équivalent à lui-même; par suite, f et f' sont proprement équivalents.

Les réciproques de ces propositions sont conséquences des mêmes formules.

Considérons maintenant les deux groupes

(û) II), — (Ji, U>', — U)',

dont les termes se correspondent d'une façon univoque. Lorsqu'on remplace co par un nombre équivalent coi, on obtient un nouveau groupe û| ; il lui correspond un groupe 4>|, dont les formes sont proprement équivalentes avec les formes correspondantes du groupe 4>. Nous distinguerons deux cas : a. Si l'on peut résoudre l'équation

si donc le nombre des termes de la période de la fraction continue (I) est impair, (p est improprement équivalent à — ^ , mais proprement équivalent à — ç' ; ^ représente deux classes de Gauss ; si cp est improprement équivalent à Jui-méme, c'est une classe anceps.

De même, Û représente deux classes de nombres co; une seule, si (I) et <j>' sont équivalents. Dans le cas actuel, w est improprement équivalent à lui-même; par suite^ si co et co' sont équivalents, cette équivalence est impropre; donc (3) cp appartient à une classe anceps.

Le nombre des classes de Gauss est donc égal à celui des classes des nombres w.