Si l'on peut résoudre l'équation
/«—Du» =4,
le nombre des termes de la période est pair, le groupe 4> représente quatre ou deux classes de Gauss; le dernier cas se présente lorsque y est proprement équivalent à — <p ou à ©', c'est-à-dire lorsque to est équivalent à w'.
Le nombre des classes de Gauss est donc double de celui des classes des nombres (o.
CBAPITRg XI. — FRACTIONS CONTINUES. 473
§ 137. — Calcul approché des racines réelles d'une équation numérique
par l'emploi des fractions continues.
A la théorie des fractions continues se rattache un procédé indiqué par Lagrange, pour calculer les racines réelles d'une équation numérique avec telle approximation qu'on voudra; nous allons l'exposer en quelques mots.
Soit f{x) = o une équation à coefficients réels, ayant au moins une racine réelle. Par l'une des différentes méthodes, dont nous avons parlé dans les Chapitres VIII et IX, on pourra toujours trouver un entier a©, tel qu'une ou plusieurs des racines de /(^) soient comprises entre a© et a© + i .
Transformons alors f{x) à l'aide de la substitution
ar = ao H ;
la fonction transformée fi (x^ ) aura une ou plusieurs racines supérieures à l'unité. Déterminons ensuite un nouveau nombre ai , entier et positif, tel qu'entre Ux et a^-^i se trouvent une ou plusieurs racines de /i(a;i); transformons f\{oCi) par la substitution
en /^{x*^) ; l'équation f2 = o aura au moins une racine supérieure à l'unité comprise, par conséquent, entre deux entiers consécutifs aj et a2-h I, .... Finalement on arrivera à isoler, par ce procédé, une seule racine: la suite des réduites
(«o)» («0, «l)» («Oi«l>«l)> •••
forme une suite de nombres rationnels, qui sont alternativement supérieurs et inférieurs à une racine x et qui s'en approchent indéfiniment. En s'arrétant à la réduite
elle différera de la valeur de la racine de moins de ^ •
474 LIVRB II. — LES RAGINB8.
La grandeur du dénominateur donne immédiatement la mesure de l'approximation atteinte.
Habituellement on trouvera ao, ai, a2, . . • en ayant égard aux changements de signes des fonctions y, f\ , f^^ ....
Pour donner un exemple de ce procédé, prenons réquation du troisième degré, déjà considérée précédemment,
a?* — aar — 2 = 0.
Elle a une racine entre i et 2 ; îl faut donc poser
ao= I.
En effectuant les transformations successives, on obtient la suite
des équations
a?' — aar — 2 = 0, ao= j,
Sa?' — x^ — 3ar — 1=0, ai= i,
257* — 4^* — 8ar — 3 = 0, «1= 3,
937* — 22a?* — i4a? — 2 = 0, as= 2,
356ia?' — 9o83a7' — 19137 — 1=0, ««= 2;
donc
les réduites successives sont
25oi '
Convertissons les deux dernières fractions en décimales; on obtient pour x les deux limites
Terreur, par défaut, de la dernière valeur est inférieure à
Dans le cas actuel, on obtient après peu d'opérations, ud résultat très approché; cela tient à ce fait, qu'on trouve à la cinquième opération le grand quotient incomplet 96. Dans la plupart des cas, les quotients incomplets sont de petits nombres; les
