CHAPITRE XII. — THÉORIE DES RACINES DE l'uNITÉ. 5i

Un tel reste sera dit le reste minimum absolu (pour le distinguer du reste minimum au sens ordinaire, qui est l'un des nombres

Soit donc m un nombre premier avec n\ considérons la suite des nombres

(mv) m, 2/n, ..., m,

et formons pour chacun d'eux le reste minimum absolu p :

ces nombres p ne peuvent être ni égaux, ni égaux et de signes contraires; car si une somme p -+- p' ou une. différence p — p' de deux tels nombres était nulle, il existerait deux nombres différents V et v', tels que /n(v±: v') fût divisible par /i; il en serait donc ainsi devdiv'; ce qui est impossible, puisque chacun des

nombres v et v' est inférieur à - .

L ensemble des nombres p est donc identique à l'ensemble des nombres v, abstraction faite des signes et de l'ordre des nombres.

Par suite de la périodicité du sinus et du cosinus, on peut remplacer dans les formules (i) et (2) vm par p ; comme d'autre part cos ( — cp) est égal à cos?p, on peut remplacer dans la formule mv par v; le signe ne dépend donc pas de m. Pour le déterminer, nous observons que le cosinus est positif ou négatif, suivant que Tangle appartient au premier ou au second quadrant; par conséquent, le second membre de la formule (i) sera positif ou négatif,

suivant que le nombre des angles — - , situés dans le second quadrant, est pair ou impair, c'est-à-dire suivant que le nombre des valeurs de v, comprises entre — et -> est pair ou impair.

X étant un nombre non entier, désignons par E(^) le plus

grand entier contenu dans x^ de telle sorte que j: est compris

entre E(a:) et E(^) -f- 1. Le nombre des entiers compris entre

deux nombres x ei y est alors égal à ^{y) — E(:r). Nous avons

5l4 LIYBE II. — LES KAGllIBS.

donc à chercher si la difiereoce

est un nombre pair ou impair. Quatre cas sont à distinguer, ainsi qu'il résulte du tableau suivant, dans lequel k désigne un entier non négatif :

n = 8A:-h3, E(^'\ = ^k-hi, E(^)=^k,

n = Sk-i-5, E(^\=4k-+-2, E^-Wa/t-i,

n = 8>t-t-7, E(^)=ik-^3, E(j\=ik-hi.

On devra donc prendre dans la formule (i) le signe +, lorsque n est de la forme Sk -{- i ou 8 â: -f- 7, et, au contraire, le signe — , lorsque n est de l'une des formes 8^: + 3 ou 8/r-H- 5. Dans les

deux premiers cas, — ^ — est un nombre pair; dans les deux derniers, un nombre impair. La formule (1) s'écrit donc finalement sous la forme

(3) 1 « ll^^s— ^— =(-')

Dans la formule (2), le signe dépend de m ; il est positif ou négatif suivant que, parmi les nombres p, il y en a un nombre pair ou un nombre impair affectés du signe — .

Pour indiquer dans la formule que le signe dépend de m et de /i, nous écrirons la formule (2) sous la forme

(4) '2 ' ll*'"^r- = UJ*^«'

.."-fi

en posant

Le symbole (— ) a été introduit, d'une autre manière, par Le-