CHAPITRE XII. — THÉORIE DES RACINES DE l'ONITÉ. 5i

gendre dans la théorie des nombres, et a été généralisé par Jacobi. Nous l'appellerons le symbole de Legendre, Nous allons voir de suite sa signification au point de vue de la théorie des nombres ; énonçons d'abord la proposition suivante :

1. Le symbole ( — ] ^st égal à -h i ou à — i , suivant que le

nombre des restes minima absolus de m^^ affectés du signe — , est pair ou impair.

Nous avons déjà vu que, pour m = i , il faut prendre dans la formule (2) le signe positif; par conséquent, ainsi que le montre directement la formule (4), on a

Changeons m en — /n; tous les facteurs du premier membre de (4) changent de signe; comme leur nombre est égal à —7^, il en résulte

d'où, en faisant m = i.

Mettons 2m au lieu de m, et servons-nous de la formule

sin = 2sin cos :

il résulte alors de (3) que

ce qui donne, pour m = i ,

Si l'on augmente m d'un multiple de n, tous les facteurs du produit (4) conservent leur signe ; donc :

5l6 LITRE II. — LIS RACINES.