LA THÉORIE DE GALOIS
§ 146. — L'idée de corps.
Lorsqu'un ensemble de nombres forme un système complet et fermé tel, qu'en exécutant sur des nombres quelconques du système les quatre opérations fondamentales, addition, soustraction, multiplication, division (la division par zéro étant exclue), les nombres, résultats de ces opérations, font aussi partie du système, on dit que les nombres considérés forment un corps de nombres.
Ce concept, qui permet de grouper les différentes espèces de nombres suivant un point de vue naturel, a été introduit dans la science par M. Dedekind (Dirichlet-Dedekind, Leçons sur la théorie des nombres, 2* édition, § 159 5 187 1). Il est de la plus haute importance pour l'Algèbre, et il n'est pas indifférent de posséder pour lui un nom caractéristique et expressif. Le mot corps de nombres {Zahlkôrper) a été formé, par M. Dedekind, d'après de nombreuses analogies, dans lesquelles le mot corps {corpus, Kôrper) désigne d'une façon analogue une réunion d'objets ap-
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parteoanl à un même groupe, complet quand on considère l*ensemble de ces objets.
L'idée du corps de nombres peut être généralisée et étendue à toutes les quantités sur lesquelles on peut effectuer les quatre opérations fondamentales, en particulier aux fonctions rationnelles d'un nombre quelconque de variables.
Nous appellerons alors corps de fonctions un sjstème de fonctions d'une ou plusieurs variables, tel que les quatre opérations peuvent être effectuées avec des fonctions quelconques du sjstème et conduisent toujours à une fonction appartenant au même sjstème (la division par zéro étant toujours exceptée). Les variables peuvent être indépendantes; pourtant nous n'exclurons pas le cas où elles sont liées par certaines relations, dont il faudra tenir compte dans les calculs.
Une fonction, appartenant à un corps de fonctions, n'est considérée comme nulle que si elle s'annule identiquement, c^ està-dire pour toutes les valeurs des variables qu'on considère.
Comme, pour le moment, nous ne voulons imposer aucune restriction à nos considérations, nous parlerons simplement de corps; les objets avec lesquels on calcule peuvent être aussi bien des nombres que des fonctions; ils seront dits les grandeurs ou les éléments de ce corps (').
Un corps est donc un système de grandeurs tel que les quatre opérations puissent être exécutées sur ses éléments, et dans ce corps.
Lorsque tous les éléments d'un corps sont contenus dans un second corps, le premier corps est dit un diviseur du second.
Si û est un diviseur de û', nous dirons que û' est un corps supérieur à û.
En toute rigueur, le seul nombre zéro constitue un corps. Pour plus de brièveté, nous le laisserons de côté une fois pour toutes.
Un premier exemple d'un corps est fourni par V ensemble de tous les nombres rationnels.
Ce corps est un diviseur de tout autre. En effet, chaque corps contient au moins un élément o> différent de zéro, par consé-
(') Voir le Mémoire de l'auteur: Les principes généraux de la Théorie de datais {Mathematische Annalen, t. \LIII).
