CHAPITRE XIII. — LA TH£0RIB DE GALOIS

nul. Si les coefficients a de la fonction y (;r) sont des variables indépendantes, à chaque système de valeurs de ces coefficients correspond un système de valeurs des racines a, et ces racines sont des fonctions continues des coefficients (§44).

Si donc les variations des coeilficients sont suffisamment petites pour que A(a) ne soit pas nul, les m quantités a sont entièrement déterminées comme fonctions des coefficients a, et, de plus, sont distinctes ; il suffit de se donner la valeur de chacune d'elles pour un système de valeurs des coefficients a.

Si les coefficients ne sont pas des variables indépendantes, mais sont eux-mêmes fonctions d'autres variables, tout ce qu'on vient de dire reste encore exact, tant que les coefficients varient d'une façon continue.

Il est donc permis, dans tous ces cas, de parler des m racines d'une équation algébrique de degré m\ elles sont à considérer comme des nombres ou comme des fonctions algébriques des coefficients de l'équation.

Û étant un corps quelconque, el f{x) une fonction en û, deux cas sont possibles : .

Ou bien la fonction f{x) peut être décomposée en facteurs de degré inférieur dont les coefficients appartiennent à û, ou bien cette décomposition est impossible. Dans le premier cas, la fonction est dite réductible en Q ; dans le second, irréductible en û.

Parfois, lorsque le corps û peut être considéré comme connu sans ambiguïté, lorsque c'est, par exemple, le corps des nombres rationnels, on parle simplement de fonctions réductibles ou irréductibles, sans ajouter la désignation, en Û.

Les remarques suivantes montreront qu'il importe de préciser le corps auquel se rapporte la propriété de réduction, autrement dit le domaine de rationalité.

Une fonction linéaire est évidemment irréductible dans tout corps O. Le produit de deux fonctions de la forme (i) est une autre fonction de même forme, évidemment réductible, puisqu'on peut lui substituer le produit des facteurs qui ont servi à la former.

Une fonction y( a:), irréductible en Û, peut devenir réductible dans un corps plus étendu û' déduit de Û par une adjonction quelconque; par exemple, toute fonction f{x) devient réductible dans le corps û' déduit de Û par l'adjonction d'une racine a de f{oc)\

on peul alors mettre en facteur dans f{x) le facteur linéaire x — a. Dans le corps formé par tous les nombres, une fonction quelconque est réductible.

I. Si les coefficients d^une fonction irréductible /{x) et d^une autre fonction F(x) appartiennent au même corps, f{x) et F (a;) ne peuvent avoir de diviseur commun, à moins que¥[x) ne soit divisible par f{x).

Ce théorème, dont nous ferons un très fréquent usage par la suite, est presque évident; en effet, le plus grand commun diviseur des deux fonctions F (or) et f{x) se détermine à l'aide des opérations fondamentales; il est donc aussi contenu dans Û. D^autre part. f{x) ne peul contenir d'autre diviseur appartenant à û que f{x) même ou une constante (quantité appartenant à Û); donc, ce plus grand commun diviseur n'est autre que y(^) même ou une constante.

Il résulte de ce théorème qu'une fonction f{x) ne peut avoir de facteurs multiples; sans cela elle aurait un plus grand commun diviseur avec sa dérivée f\x)\ f'{x) devrait done être divisible par f{x)\ ce qui est impossible, puisque le degré de f{x) est inférieur à celui de f{x).

On peut aussi énoncer le théorème I sous la forme suivante :

II. f{x) étant irréductible, si la fonction F(jr) admet Vunt* des racines de f(x), elle les admet toutes.

On en conclut en particulier que :

III. La fonction F(.r) étant de degré inférieur à la fonction irréductible f{x)^ si elle admet l'une des racines de f(x), F{x) est identiquement nulle; tous ses coefficients sont nuls.

On appelle aussi fonctions en ù des fonctions entières et rationnelles de plusieurs variables f{x, y^z^ • • •)? dont les coefficients appartiennent au corps û. Ces fonctions seront aussi dites réductibles ou irréductibles, suivant que Ton peut ou ne peut pas les décomposer en plusieurs facteurs, eux-mêmes fonctions en 12 et contenant réellement une ou plusieurs des variables x^ y^ z, .... •Il y a ici une distinction importante à faire. Parmi les fonctions de plus d'uoe variable indépendante, il j en a qu'on ne peut abso-