CHAPITRE XIII. — LA THÉORIE DE GALOIS

lumenl pas décomposer en facteurs de degré inférieur, dépendant rliionnellement des variables; d^autres sont décomposables en facteurs rationnels par rapport aux variables, mais leurs coefficients n'appartiennent pas à ù; d'autres enfin sont décomposables en facteurs appartenant à Q. Seules les fonctions de la dernière espèce seront dites réductibles en û; celles de la seconde espèce seront appelées décomposables ; celles de la première, indécomposables.

Si, par exemple, û est le corps des nombres rationnels, la fonction a: ^ — y^=:(^x — y)(a:-HJ') est réductible en Û. La fonction X- — 2.y^ est décomposable en deux facteurs x-^yyji^ x — y^'^\ mais ces facteurs ne sont pas fonctions en Q. Enfin la fonction x^-\- y^-\'\ est absolument indécomposable. Une fonction irréductible en Û, mais décomposable, devient réductible dans un corps plus étendu que Q.

Nous avons établi au § 20 les théorèmes fondamentaux sur les fonctions irréductibles. D'après le point de vue auquel nous nous sommes placés à ce moment, le domaine de rationalité était constitué par le corps formé de tous les nombres; dans ce cas, la différence entre fonctions réductibles et fonctions décomposables disparaît. La seule propriété utilisée est celle de la réduclibilité ou de l'irréductibilité de la fonction ; la nature particulière du corps Cl n'est pas prise en considération. D'où la démonstration de ce théorème :

IV. Une fonction réductible en Q ne peut être décomposée en facteurs irréductibles que d* une seule manière , à condition de ne pas considérer comme distincts des facteurs rationnels qui ne diffèrent que par un facteur constant.

§ 149. — Corps algébriques.

Soient û un corps quelconque, et F(:r) une fonction en û. L'équation

est dite une équation en û. Cette équation est dite réductible o\x irréductible, suivant qu'il en est ainsi de la fonction F(:r). Si Ton

53o LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

adjoint au corps Û une racine a de cette équation, n'appartenant pas au corps Û, on forme un nouveau corps Û', qu'on appelle un corps algébrique supérieur â û ou sur Û ; si aucune ambiguïté n'est à craindre, on dit simplement un corps algébrique; on le désigne par la notation

^, y, ... étant racines d'autres équations en Û, ou d'autres racines de la même équation, on forme par l'adjonction simultanée de a, ^, y, ... d'autres corps algébriques supérieurs à û, qu'on désigne

par

Nous allons voir que cette extension de l'idée de corps algébrique n'est qu'une apparence; nous nous bornerons, pour l'instant, à l'adjonction d'un seul élément à au corps û(a).

L'équation (i), admettant a comme racine, peut être réductible. Parmi les facteurs irréductibles de F(x), il en est au moins un qui s'annule pour ^ = a; soit f{x) ce facteur. En supposant égal à I le coefficient de la plus haute puissance de x dans f{x)^ cette fonction est complètement déterminée ; en effet, d'après le paragraphe précédent, a ne saurait être racine de deux équations irréductibles distinctes.

L'équation f{x) = o a donc la forme

(a) x^-^ a, JT^-^H- GiX'^-^-h . . .— «/;! r -t- an — o,

ai, a2, , .> <, a,i étant des éléments de û. Le degré n de cette équation est, par définition, le degré du corps û(a). •

Tous les éléments 6 du corps û(a) se déduisent de a et des éléments de Q par les quatre opérations fondamentales. On peut donc les mettre sous forme de fonctions rationnelles de a, ayant pour coefficients des éléments de û :

X(^) ^^^{^) étant des fonctions en û. Comme ^(a) ne peut être nul, i({x) ne sera pas divisible par f{x)\ d'autre part, f{x) est irréductible par hypothèse ; donc y^^) et if{x) sont premiers «ntre eux.