RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS

§ 183. — Rédaction du groupe par une équation binôme.

La résolution algébrique des équations est une des questions les plus anciennes, à propos de laquelle s'est particulièrement développée l'Algèbre moderne. On entend parces mots la représentation des racines d'une équation par une suite de radicaux, ou leur calcul à l'aide de l'extraction de racines çn nombre fini. La théorie des groupes jette sur cette question la lumière la plus vive.

En posant la question d'une façon plus précise, on est amené à se demander comment on peut étendre le corps Q, par l'adjonction successive de plusieurs radicaux, de façon que le corps ainsi étendu contienne toutes les racines, ou au moins une partie d'entre elles. Un radical est une quantité non contenue dans â, mais dont une certaine puissance est contenue dans ce corps; par suite, a étant un élément de Û, ce radical est racine de l'équation binôme

Pour qu'une équation irréductible puisse être résolue algébriquement, ou du moins possède une ou plusieurs racines qu'on puisse mettre sous forme algébrique, il faut qu'après l'adjonction successive de racines d'équations binômes en nombre fini l'équation proposée devienne réductible, puisqu'une partie de ses racines doit être contenue dans le corps ainsi étendu. Le groupe P de Téquation est d'abord transitif; finalement il devient inlransitif ou se réduit au groupe unité. Une fois au moins, le groupe P

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devra être réduit par l'adjonction d'une racine d'une équation binôme.

Une autre manière de poser le problème permet de le simplifier considérablement (*).

Nous avons vu au § 169 que les équations binômes sont des équations abéliennes, et que toutes les équations abéliennes peuvent être résolues à l'aide d'une suite d'équations cycliques de degré premier, enfin que ces dernières sont résolubles par radicaux.

Au lieu de chercher à résoudre l'équation proposée à l'aide de radicaux, il revient donc au même de se proposer sa résolution au moyen de racines d'équations abéliennes. En remplaçant l'équation abélienne par une suite d'équations cycliques de degré premier, la première réduction du groupe se produira par l'adjonction d'une racine d'une telle équation, d'où ce premier problème :

Sous quelles conditions le groupeP d'une équation f(x) = o de degré n se réduit-il par suite de V adjonction d'une racine d'une équation cyclique de degré premier m?

Nous ne supposerons pas que /(x)=: o soit irréductible; nous traiterons la question en général, pourvu que l'équation f{x) = i) n'ait pas de racines multiples.

On peut penser qu'il est d'abord nécessaire d'adjoindre au corpsû différentes racines d'équations cycliques (par exemple des racines de l'unité), dont l'adjonction ne change pas le groupe P. Comme il s'agit de trouver les propriétés nécessaires du groupe P, nous supposerons que ces opérations préliminaires ont été faites; le corps û est, par hypothèse, constitué de telle sorte, que l'adjonction d'une racine de l'équation cyclique cp(x) = o, de degré premier /n, réduit le groupe P à un de ses diviseurs Q.

Soient

les racines de o{x)=^ o; toutes ces quantités s'expriment (dans le corps Û) rationnellement en fonction d'une quelconque d*entre

(') Cette forme du problème a été signalée en premier lieu par M. Jordan {Traité des substitutions, p. 386).

elles; Pétant le groupe de l'équation f{x) = o dans le corps û, Q est le groupe de la même équation dans le corps Û(e), ou, ce qui revient au même, dans les corps Û(£|), . • . , û(e/n-i)- Appliquons maintenant le théorème final du § 164. D'après cette proposition l'indice y du diviseur Q de P est un diviseur de m; on a donc m=j\ puisque m est premier par hypothèse. D'après le même théorème, e est une fonction rationnelle des racines de l'équation /(x) = o :

Cette fonction appartient au groupe Q; appliquons-lui les différentes permutations du groupe P; nous obtiendrons les fonctions e, ei, ..., £m-i et point d'autres. Ces fonctions appartiennent aux groupes conjugués 7w~*Q7t. D'autre part, chacune de ces quantités s'exprime rationnellement en fonction des autres; elles appartiennent donc au même groupe; par suite, Q est un diviseur normal de P.

Nous avons ainsi démontré ce premier théorème :

I. Lorsque le groupe P d'une équation se réduit par l'adjonction des racines d'une équation abélienne, P admet un diviseur normal Q d'indice premier.

La réciproque de ce théorème est vraie.

Supposons que le groupe P admette un diviseur normal Q d'indice m ; on pourra choisir une fonction ^ appartenant au groupe Q ; toutes ses fonctions conjuguées ^4, ^2^ •••) ^/n-i appartiendront au même groupe. Le corps Û(^) est un corps normal; ^ est racine d'une équation normale. Dans le corps û(^), Q est le groupe de l'équation /(j;)= o (§ 162). Mais lorsque m est un nombre pre-" mier, à est racine d'une équation cyclique (§ 170); donc :

IL Lorsque le groupe P de l'équation /{x)= o admet un diviseur normal Q d'indice premier m, le groupe P se réduit au groupe Q par l^ adjonction d'une racine d'une équation cyclique de degré m.

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§ 184. — Équations môtacycliqaes.

Nous appellerons équation métacyclique lonte équation dont la résolution complète se ramène à celle d'une suite d'équations cycliques. Les équations cycliques en sont un cas particulier, et, diaprés une remarque faite au § 183, les équations métacycliqucs sont identiques aux équations résolubles par radicaux.

P étant le groupe d^une telle équation, il admet, diaprés le paragraphe précédent, un diviseur normal P| d'indice premieryV Si ce groupe P| est formé par la seule permutation identique, le groupe P est cyclique et de degré premier. Si Pi n'est pas le groupe unité, il admet lui-même un diviseur normal P3 d'indice premier y2, etc.; on arrive ainsi finalement au groupe unité.

Lorsque le groupe P a cette composition, l'équation considérée est métacyclique, ainsi qu'il résulte du paragraphe précédent; d'où cette proposition :

IIL Pour qu^ une équation soit métacyclique, il faut et il suffit qu'il existe une suite de groupes

dont le premier est le groupe de Galois de Véquation, le dernier le groupe unité, et tels que chaque groupe soit un diviseur normal d' indice premier de celui qui le précède immédiatement.

Nous appellerons donc groupe métacyclique (* ) un groupe de permutations P, tel que l'on puisse former la suite

chaque terme de cette suite étant un diviseur normal d'indice premier du précédent.

( ' ) L'expression métacyclique a été employée d'abord par Kronecker, quoique dans un sens plus restreint. Je voudrais proposer cette légère généralisation d'une expression déjà connue, au lieu de l'expression groupe résoluble, employée par MM. Frobenius et Holder.

Nous avoDS obtenu ainsi la condition pour qu'une équation puisse être résolue complètement à Taide d'une suite d'équations cycliques. Il s'agit maintenant de savoir si l'on peut représenter de cette manière une ou plusieurs des racines de l'équation, et non les autres.

Cette question ne doit se poser que pour les équations irréductibles; les autres peuvent présenter tous les cas possibles. Le théorème suivant répond à la question :

IV. Si Von peut déterminer une racine d^une équation irréductible par la résolution d'une suite d^ équations cycliques^ l^ équation est métacy clique.

Lorsqu'une équation irréductible f{x)-=o admet une seule racine qui devient rationnelle par l'adjonction successive de racines d'équations cycliques, elle devient nécessairement réductible par cette adjonction, puisque l'on doit pouvoir finalement y mettre en évidence un facteur linéaire. Soit donc Pie groupe de l'équation considérée ; on a fait par hypothèse toutes les adjonctions qui laissent l'équation irréductible; mais l'adjonction d'une racine £ d'une équation cjxlique de degré premier permet la décomposition en facteurs de Téquation proposée. Alors (§ 183) P admet un diviseur normal Q d'indice w; le groupe P se réduit à Q, après l'adjonction de e; le groupe Q devra être intransitif. Si Q est le groupe unité, l'équation f{x) = o est entièrement résolue par l'adjonction de e; si Q diffère du groupe unité, il y a lien d'appliquer les théorèmes du § 165. L'indice m de Q étant un nombre premier, l'adjonction de e permet de décomposer y(:r) en facteurs c>(jr, e), îp,(j;, e), ..., 'fm-i(-^) e) de même degré [x, et Ton a

jjim = /i.

Si n esl un nombre premier, [x est égal à i; les fonctions «p sont linéaires, et l'équation est entièrement résolue; le théorème IV est donc vrai pour toute équation de degré premier.

Dans le cas général, l'un des facteurs

cp(a7, e), cp,(a:, s), ..., ^,n-\{30,z)

admet une racine qui devient rationnelle par suite de l'adjonction de racines d'équations cvcliques; si donc nous supposons notre