I -f- 101, 3 H- 10/, 7 -h 8e\ Il -H 4*» 7-^'ot, Il -h
§ 182. — Le corps des racines cubiques de Tunité.
Le théorème principal du paragraphe précédent est que chaque entier du corps R(/) ne peut être mis sous forme d'un produit de facteurs indécomposables que d'une seule manière; la notion de facteur indécomposable est identique à celle de nombre premier. Ces propositions ont essentiellement pour base l'algorithme du plus grand commun diviseur, représenté par les formules (i) du § 181. Si donc on peut trouver dans un autre corps un algorithme analogue^ constitué par un npmbre fini d'opérations, on pourra en tirer des conclusions analogues.
Il en est ainsi dans le corps R(p), déduit du corps R par l'adjonction de la racine cubique imaginaire
Ce corps est formé par l'ensemble de tous les nombres de la forme \z=ix -\- py, X et y étant des nombres rationnels. La norme d'un tel nombre est égale à
N({) =(ar -hpy){x-\-p^y) = x^—Jcy-^y^
__ -jx — y-hyi/— j ix — y — y)/— 3 (2^-- 7)'-}-:{j^'«
Un nombre a = a + ftp est dit un entier du corps R(p), lorsque a et 6 sont des entiers rationnels. Les unités de ce corps sont déterminées par l'équation
ou
ÔgO LITRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
elle n'est vérifiée que pour
b =: o, a = ±1 1 ; 6==bi, flf=iizo; a = \, b — } ; a = — i, ^ = — i. On obtient ainsi les six unités
dii, -Jzp, ±p«.
Un système de nombres associés est alors
±{a-+ bç>), ±(ap-^-bp^):r-=-±\-b-^(a-b)pl ■± (ap-^-,- b) --^ -h ( b — a — a p).
Ç étant un nombre fractionnaire quelconque du corps R(p), on peut déterminer un entier [x de telle sorte que, dans la diflerence Ç — jjL^^r + p^, les composantes a; et y soient, en valeur absolue,
inférieures à -; il en résulte
En se basant sur cette propriété, on. peut déterminer, comme précédemment, le plus grand commun diviseur de deux entiers a et p, et en conclure que tout entier du corps R(p)pcut être décomposé d'une seule manière en nombres premiers de ce corps, à condition de ne faire aucune diflerence entre deux nombres associés.
Comme dans le paragraphe précédent, on monlre qu'on obtient tous les nombres premiers du corps R(p) par la décomposition de tous les nombres premiers réels; un nombre premier réel est, ou bien le produit de deux facteurs conjugués dans K(p), ou bien c'est un nombre premier de ce corps.
Le nombre premier 3 se décompose en (i — p)(i — p^)î mais ces deux facteurs sont associés; on a donc
ce nombre est associé au carré d'un nombre premier de R(p); soil
y^ — 3 ce nombre premier. D'après le § 180, tous les nombres premiers de la forme 3/+ i peuvent être mis sous forme d'un produit de deux facteurs conjugués dans R(p), tandis que les nombres premiers de la forme 3/+ 2 ne peuvent jamais être décomposés de cette manière. On obtient donc tous les nombres premiers du
GflAPITRE XVI. — DIVISION DU CERCLE EN PARTIES ÉGALES. 69 1
corps R(p), CD cherchant les nombres premiers réels de la forme 3/4- 2, et les facteurs conjugués de tous les autres nombres premiers.
Soit a -\- bp un entier complexe dont la norme a^ — ab -+■ bn^est pas divisible par 3 ; des deux nombres a et 6, il y en aura un divisible et un non divisible par 3 ; ou bien, on aura
a e:= b (mod3)
et, par suite,
a^ — ab-h b^^ i (mod 3).
Donc, parmi les nombres associés
a-\-bp, b-hap^, b — (a — 6)p,
il y en aura un et un seul, dans lequel le coefficient de p est un multiple de 3.
Supposons qu'on ait ft = 3B; posons
^{a -h bp) = p, ia — 6 = A;
il vient
4/? = A*-i-27Bî,
en concordance avec les résultats du § 180. En désignant par p un nombre premier, et supposant qu'on ait mis 4/> sous cette forme, on en conclut les facteurs complexes de />, par la formule
/A-+-3B \/A-3B . \ p^[——-^Zp^)^[-— 3pBJ.
Les nombres premiers complexes, dont les normes sont inférieures à 200, sont ici :
