CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
de manière que X devienne un cycle à trois termes ; il en résultera bien l'identité de Q et de A.
A cet effet, nous supposerons x etir décomposés en cycles; pour former X, on poqrra laisser de côté les cycles de x dont les indices ne sont pas changés par la permutation it; ces cycles se détruisent en effet dans x~* et x. Il nous faut maintenant considérer séparément les différentes formes possibles de x.
1° Supposons que X contienne un cycle de plus de trois indices, par exemple (i, 2, ..., m); prenons 7t=:(i, a, 3); formons x-«7î-'x(§ 160, 4); il vient
X = x-i7r-*XTC — (2, 4» 3)(i, 2, 3) = (i, 2, 4)-
Q renferme donc un cycle à trois termes.
2° Supposons que x renferme les deux cycles à trois termes
(1 , 2, 3), (4, 5, 6). Prenons tt =(i , 3, 4); il vient
Cette permutation X est contenue dans Q; on est donc ramené au premier cas.
3** Supposons que x renferme un cycle à trois et un cycle à deux termes (1, 2, 3) et (4, 5). (Il est indifférent que x, faisant partie de A, renferme un second cycle d'un nombre pair de termes). Prenons tt =(i, 2, 4); on trouve
On est encore ramené au premier cas.
4** Supposons que X renferme trois transpositions (i, 2), (3,4)? (5, 6). Prenons •îî=:(i, 3, 5); il en résulte
on est ramené au second cas.
5® Supposons que x se compose de deux transpositions et d'un élément invariable, (i, 7), (3, 4) et (5). Prenons i:=^(i, 2, 5);
on trouve
Ce sont là tous les cas possibles pour n > 4. Pour /i = 4î î' reste à considérer le cas où ic se compose de deux transpositions;
c'est delà que résultent les relations particulières qui, polir /i= 4? permettent de résoudre algébriquement l'équation ( * ).
On conclut en outre de ce théorème que le groupe symétrique n'a pas d'autre diviseur normal que lui-mé,me, et le groupe alternant d'autre diviseur normal que le groupe unité. Soit en effet S le groupe symétrique, A le groupe alternant, et Q un diviseur normal de S; le plus grand commun diviseur Q' de A et Q est un diviseur normal de A; il est donc égal à A ou à i. Si en effet x' est un élément de Q' et par suite de A, tz un élément quelconque de S, la permutation tî^'x'tc appartient d'abord à Q, puisque Q est un diviseur normal de S. Mais t:~*x'7: est contenu dans A et, par suite, dans Q'.
Si Q' est identique à A, Q ne contient outre l'unité aucune permutation de première classe. Soient x et }. deux permutations distinctes de Q, différentes de l'unité; x- et xX, étant de première classe, seront égales à l'unité; par suite À = x. Q ne peut donc contenir plus d'une permutation x distincte de la permutation identique. D'autre part, Q doit être un diviseur normal de S; il faut donc que, pour chaque permutation Tw du groupe symétrique, on ait
--Iv-n- ^
XTT = x;
donc X ne doit pas changer, lorsqu'on effectue une permutation quelconque dans les cycles qui la forment. Cela n'est possible que lorsque le nombre des indices est égal à 2, et qu'on a jc = (i,a). Mais alors le groupe S ne se compose que de (i) et (i , 2).
§ 186. — Équations non métacycliques dans le corps
des nombres rationnels.
Nous avons démontré, dans le paragraphe précédent, qu'une équation, dont le degré n est supérieur à 4> ^^ peut être résolue
( ^ ) La première démoQStration complète de l'impossibilité de résoudre par radicaux TéquatioD générale d'un degré supérieur au quatrième est due à Abel {Journal de Crelle, t. I; 1826). — Pour ce qui concerne les essais antérieurs de RufQni (1799 à 1806), et leurs relations avec la démonstration d'Abel, voir le Mémoire de Burkhardt, Les commencements de la théorie des groupes, et Paolo RuFPiNi, Afe'moires relatifs à l* histoire des Mathématiques, VI (Supplément du Journal de Schlômilch; Leipzig, 1893).
