CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS. 7OI

algébriquement, lorsque ses coefficients ne sont liés par aucune relation. Il est encore plus intéressant de se demander s*il existe dans le corps des nombres rationnels des équations de degré /t, qui ne sont pas résolubles algébriquement. On peut poser la question d'une façon plus générale, en«se demandant s'il existe des équations à coefficients entiers dont le groupe est identique au groupe symétrique, qui n'ont pas à^affect, d'après une définition antérieurement donnée.

Étant donnée l'équation f{x) =: o de degré /?, à coefficients indéterminés a/, formons sa résolvante de Galois G(/) = o, de degré n(/i); G(^) est une fonction entière des variables t et ût/, qui ne peut se décomposer en facteurs rationnels par rapport à t et a,-. Remplaçons les variables a par des éléments d'un corps quelconque Û; si G(^) devient réductible dans ce corps, l'équation f{x) = o possède un affect dans le domaine de rationalité Û. La question posée revient donc à la suivante : Peut-on remplacer dans (G)^ les variables ai par des nombres rationnels, tels que G(/) reste irréductible dans le domaine des nombres rationnels? Ce problème a été résolu d^une façon tout à fait complète par un Mémoire de M. Hilbert (*). Il démontre cette proposition générale que, dans une fonction irréductible d'un nombre quelconque de variables, on peut remplacer autant de variables que Ton veut par des nombres rationnels, de manière que 'la nouvelle fonction soit irréductible par rapport aux variables restantes. Nous ne nous occuperons pas de ce théorème général.

Nous répondrons à la question posée d'une façon beaucoup plus simple, en montrant qu'à chaque degré premier correspondent des équations sans afiect.

Nous avons démontré (§ 160, 10) qu'un groupe transitif de permutations de n indices, non identique au groupe symétrique, ne peut contenir aucune transposition lorsque n est premier.

Une équation a un affect lorsque son groupe diff'ère du groupe symétrique. Si donc l'équation irréductible /(x) = o possède un afi'ect et si elle est de degré premier, son groupe P est nécessairement transitif et ne saurait contenir de transpositions de deux

(*) Sur Virréductibilité des fonctions rationnelles et entières à coefficients entiers {Journal fiir Mathemaiik, t. CX ).

racines. Par suite, en adjoignant /i — 2 des racines au domaine de rationalité, le groupe doit se réduire au groupe unité, car il ne reste plus que la permutation des deux dernières racines, qui ne peut figurer dans P. Il en résulte que les deux dernières racines sont aussi contenues dan&Û; d'où ce théorème :

1. Lorsqu'une équation irréductible, de degré premier /i, possède un affect, deux quelconques de ses racines s'expriment rationnellement en fonction des autres.

2. Corollaire. — Lorsque le corps û est celui des nombres réels^ une équation irréductible de degré premier, possédant un affect en û, ne peut avoir deux racines imaginaires et n — 2 racines réelles.

D'ailleurs, il existe une infinité d'équations, d'un degré quelconque /i, à coefficients réels, admeltanl deux racines imaginaires conjuguées et n — 2 racines réelles. Le nombre des racines réelles et imaginaires de/{x) ne varie pas, lorsqu'on fait varier les coefficients d'une façon continue entre certaines limites finies (voir le Chapitre VII); il y a donc parmi ces équations des équations à coefficients rationnels, puisqu'il existe toujours des nombres rationnels, aussi voisins qu'on le voudra, de nombres arbitrairement donnés.

Reste à prouver qu'on peut choisir ces coefficients rationnels, de façon que /(^) soit irréductible. C'est ce qui résulte de la proposition suivante :

3. Soit p un nombre premier; Co, C, , . . ., C„ une suite de nombres entiers, dont le premier C© n'est pas divisible par p^ les autres étant divisibles par /?, mais le dernier C„ non divisible par p^\ la fonction

(p(cr) = Goa7'»-f-C,a7«-«-f-...-i-C„, est irréductible (*).

(') EiSENSTKiN a basé sur ce théorème la démoDStration de rirréductibililé des équations de division du cercle et d'équations plus compliquées {Journal de C relie, t. 39; i85o).