X-o= C-f-Bv/i-+-e»-hV^/i(i -+- eï-h v/i-f-e

elle se déduit des équations (12) en posant a= -» en remplaçant

B par h et B<? par hé^, La forme (i 2) est plus générale, en ce sens qu'elle convient au^si au cas particulier a = o, dans lequel Téquation du quatrième degré se décdVnpose en deux équations du second degré.

11 faut maintenant substituer ces valeurs de k^^ Ai, A^, A's dans la formule (9) du § 194, pour obtenir les racines d'une équation mélacyclique du cinquième degré. Prenons g^= 2; les exposants ^0» f*\t f'2j ^z sont respectivement congrus à i, 2, 4? 8; ils seront donc égaux à 1, 2, 4^ 3; si donc, comme dans le § 193, on pose

Tj — V'^3»

xo = v^Ao, X, = \/A|, X, = /Aj,

on trouve

(i3) Ç=A4-Ko':2TjT5x34-K,Tj':î':î'Uo-f-K,T5TjxjTi-+-K3TÎTjTjTî.

Les coefficients Ko, K{, K2, K3 sont des fonctions rationnelles de Â'o, A'i, A^, fc^, qui se permutent cycliquement quand on fait subir aux quantités A* elles-mêmes une permutation cyclique. D'après Abel, on doit poser

Ko = Aj -+- AjAq-h AjAt-^ A^^kokt;

A|,A2, A3, A4 sont des quantités rationnelles; Cajley part des mêmes expressions. Celle hypothèse n'est pas assez générale; en effet, A-oA'2, /cq et A*2 sont liées par une relation linéaire qu'on déduit aisément des équations (12).

La forme la plus simple qu'on puisse donner aux quantités A' se trouve à l'aide des trois radicaux

r= /i -ha*,

p'= v/a(i 4- a* — a /i -»- a*), pp' = hr.

o' s'exprime linéairement en fonclion de rp et de p, ainsi que le

montre la formule

A/-îp'= rpp'*;

il suffît de remplacer dans le second membre p'^ par sa valeur en fonction de r, et de tenir compte de ce que r^ est rationnel.

Si donc, au lieu de la permutation cyclique des quantités A\ on emploie la substitution

et si l'on désigne par A^, A2, A3, A4 des quantités rationnelles,

on trouve

Ko = Al — A j r -f- As p -h A4 rp,

Kl = Al — A,r4- Ajp'— A4rp', Kj = Al -i- Aj/* — Asp — A^rp, K3 = Al — Ajr — Ajp'-f- A^rp'.