DE LA DEUXIÈME ÉDITION

Voici la deuxième édition du Traité d'Algèbre. Le plan et la suite des idées de la première édition ont été conserves dans leur ensemble. Néanmoins toutes les Parties en ont été revues à plusieurs reprises; bien des choses nouvelles ont été ajoutées, en partie pour rectifier quelques erreurs ou pour augmenter la clarté de l'exposition, en partie pour tenir compte de travaux récents et rendre ainsi l'Ouvrage plus complet.

C'est de nouveau pour moi un devoir des plus agréables de témoigner ma gratitude aux nombreux amis du Livre, qui m'ont aidé par leurs communications dans la nouvelle rédaction. En outre des personnes nommées dans la Préface de la première édition, ces remerciments s'adressent en particulier à MM. Hensel, Frobenius, Netto, ainsi qu'à un ami inconnu, qui a lu tout l'Ouvrage avec un soin particulier.

H. Weber.

Strasbourg, janvier 1898.

TRAITÉ

Nous supposons connus, dans ce qui suit, les nombres naturels 1,2, 3, ... ainsi que leurs règles de calcul. Les opérations fondamentales sont Vaddition, la multiplication (dont un cas particulier est V exponentiation)^ la soustraction et la division. Les deux premières s'appellent les opérations directes; elles présentent ce caractère particulier de pouvoir être effectuées avec tous les nombres naturels possibles. La première des opérations inverses, la soustraction, n'est possible que si le nombre à soustraire est inférieur à celui dont on le soustrait.

Le problème de la division peut être envisagé de deux manières. A.U premier point de vue élémentaire, on demande combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Un nombre ne peut être contenu dans un autre plus petit que lui. Si, au contraire, le dividende est égal ou supérieur au diviseur, la réponse à la question est un nombre appelé quotient, et, dans la plupart des cas, il y a un reste plus petit que le diviseur. Si le reste est nul, on dit que la division se fait exactement, ou que le dividende est divisible par le diviseur, ou bien que le diviseur est un facteur ou diviseur du dividende.

Ce problème, qui se présente dès l'abord des opérations, conduit à établir entre les nombres une distinction profonde, qui est la base de toute la théorie des nombres.

Un facteur ne pouvant jamais être supérieur au nombre qu'il VV. 1

CVTBODCCnO!!.

divise exactemeDty chaque nombre ne possède qn*nn nombre limité de facteurs ou diviseurs. Tout nombre est divisible par i et par lui-même ; un nombre qui ne possède pas d*autres diviseurs que ceux-ci s'appelle un nombre premier. Par suite de certaines considération Sy on ne compte pas Tunité parmi les nombres premiers. Deux nombres étant divisibles par un troisième, il en est de même de leur somme ou de leur diflereoce. Si un premier nombre est divisible par un second, et ce second par un troisième, le premier est aussi divisible par le troisième.

Deux nombres ont toujours le diviseur commun i. S*ils n'en ont pas d'autres, comme 5 et 7, 21 et 38, on dit quMIs sont premiers entre eux.

Parmi les diviseurs communs à deux nombres donnés, il en existe un supérieur à tous les autres ; c^est un problème des plus importants de trouver ce plus grand commun diviseur. Il est résolu par un procédé connu sous le nom A^algorithme du plus grand commun diviseur, qu'on trouve déjà dans Euclide {jElémenls, Livre VII, prop. II, Tome I de rédilion Heiberg).

Soient a et a^ les deux nombres; prenons le plus grand a pour dividende,"^ le plus petit ai pour diviseur; déterminons le quotient Çt ; si la division ne se fait pas exactement, soit a^ le reste;

on a alors

a — qiai-r- aty at<ai.

Tout diviseur commun de a et a^ est aussi diviseur commun de ^1 et ^2, et réciproquement.

Opérons sur ai et a^ comme nous venons de le faire avec a et ai ; si la division ne se fait pas exactement, on pourra écrire

Tout diviseur commun de ai et a2 est aussi diviseur commun de aj et aj, et réciproquement.

En continuant la série des divisions, les nombres a, ai, 02, as, ... forment une suite décroissante et, par suite, limitée; donc, au bout d%in certain nombre d'opérations, on trouvera deux équations de la forme

fty est alors un diviseur commun de toutes les quantités a< qui le précèdent, par suite aussi de a et a^ ; réciproquement tout diviseur commun à a et a^ est diviseur de a^. Il en résulte que Oy est le plus grand commun diviseur de a et de ai , et nous avons en même temps ce théorème :

Tout diviseur commun à deux nombres est diviseur de leur plus grand commun diviseur.

Si a et «4 sont premiers entre eux, le dernier diviseur a^, est i. Multiplions dans celte hypothèse les deux membres de toutes les égalités précédentes par un nombre quelconque b] il en résulte que b sera le plus grand commun diviseur de ab el a^b] par suite, tout diviseur commun de ab et a^ ou de a et a^b est nécessairemeni un diviseur de 6. Si donc a^ est premier avec a et avec 6, il est aussi premier avec le produit ab. Dans Thypothèse que a^ est un nombre premier, il en résulte qu'un nombre premier ne divise un produit de facteurs que s'il divise au moins un facteur de ce produit.

Si donc ai divise le produit aè, et s'il est premier avec a, il divise b.

Soient a et b deux nombres ayant d pour plus grand commun diviseur; si a = da', b = db', a' et b' sont premiers entre eux. Tout nombre m, multiple commun à a et 6, est de la forme m = am^ = dà m! \ m' a' devra donc être un multiple de b' ] donc aussi m! . En d'autres termes, tout nombre qui est multiple commun de a et 6 est divisible par a! U d. Ce nombre a! b d qui est lui-même un multiple commun à a et &, s'appelle le plus petit commun multiple à a et 6.

Lorsqu'un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, il est divisible par leur produit; si donc un nombre est divisible par plusieurs autres premiers deux à deux, il l'est aussi • par leur produit.

Tout nombre m, à l'exception de l'unité, est divisible par un nombre premier. Si, en elfet, m n'est pas lui-même un nombre premier, il admet un diviseur ml différent de i, et plus petit que m. Si m! n'est pas un nombre premier, il admet aussi un diviseur mH plus petit que lui et supérieur à i ; m'' sera aussi un

diviseur de m, et ainsi de suile. On arrive donc nécessairement à un diviseur premier de m.

On déduit de là ce théorème important, qu'un nombre ni ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière. Le diviseur ne pouvant être plus grand que le dividende, m ne peut être divisible que par un nombre limité de nombres premiers ; a étant un de ces diviseurs et a l'exposant de la plus haute puissance de a qui divise m, a est aussi un nombre déterminé.

Soient 6P, cT, ... les plus hautes puissances des autres nombres premiers 6, c, . . . qui divisent m. Deux quelconques des nombres a«, 6?, cT, ... sont premiers entre eux; m sera donc divisible par le produit a*6PcT...: il sera, d'ailleurs, égal à ce produit, sans quoi il devrait être divisible par une plus haute puissance des nombres a, b^ c, . . . ou par un autre nombre premier.

Passons maintenant en revue les extensions successives de l'idée de nombre qu'il a fallu introduire en Mathématiques.

Nous appellerons ensemble, et nous désignerons par le signe OTl, un système d'objets ou d'éléments d'espèce quelconque, limité et achevé de telle manière qu'on puisse dire si un objet déterminé appartient à l'ensemble ou non; peu importe, d'ailleurs, que dans chaque cas particulier nous ayons réellement la possibilité de prendre cette décision ou non.

Un ensemble est ordonné si, deux éléments différents étant donnés, l'un d'eux est considéré comme plus grand que l'autre, et si de plus les inégalités a >• 6, 6 r> c entraînent a >> c. S'il en est ainsi, nous dirons que b est compris entre a et c.

Les nombres entiers successifs forment un ensemble ordonné : entre deux éléments successifs on n'en trouve point d'autres. Un tel ensemble est appelé discontinu.

Au contraire, un ensemble ordonné, tel qu'entre deux éléments quelconques de l'ensemble on peut toujours en trouver d'autres, s'appelle parfaitement dense.

On forme un ensemble parfaitement dense en associant les nombres entiers par couples, et en prenant ces couples comme éléments d'un ensemble ^ ces couples seront appelés fractions et

représentes par la notation min ou —

Deux fractions m \ nelm! \ n! seront dites égales si mn! =zm' n. Si Ton considère toutes les fractions égales comme un seul élément, on obtient un ensemble ordonné, en écrivant de plus que m : n est plus grand que m' : n', si mnl >> m' n.

La densité de cet ensemble se démontre comme il suit : soient

?xr=— , a' = ~7 deux fractions telles que u > a'. En désiâ^nant par h un nombre arbitraire, on pourra poser

hmn' , hm' n

et Ton aura

hmn' > hm' n.

h peut toujours être choisi de façon que d'autres nombres entiers soient compris entre hmn! et hm!n\ si p est un de ces nombres, la fraction/? : hnn! est comprise entre a et jjl'.

Les points successifs d'une droitepeuvent aussi être considérés comme un ensemble ordonné; il suffit d'assimiler les idées de grandeur relative à la disposition relative des points par rapport à la droite ou à la gauche, par rapport à en haut ou en bas.

Partager un ensemble ordonné DTt en deux parties A et B, de façon qu'un élément quelconque a de A soit plus petit qu'un élément quelconque b de B, s'appellera faire une coupure dans l'ensemble OÎL; cette coupure sera désignée pour le moment par (A, B). On obtient, par exemple, une coupure en prenant un élément déterminé |jl; en plaçant dans A tous les éléments inférieurs à tx, dans B tous les éléments supérieurs à [x, ce dernier élément [ji lui-même étant attribué soit à A, soit à B. On produit ainsi deux coupures différentes, selon qu'on attribue [x à A ouB; nous les considérerons comme identiques. Lorsque dans une coupure (A, B), l'ensemble A contient un élément plus grand que tous les autres, ou l'ensemble B un élément plus petit que tous les autres, on dira que cet élément [x produit la coupure (A, B). Mais il peut aussi arriver qu'aucune de ces deux hypothèses ne soit réalisée.

Lorsque chaque coupure d'un ensemble de densité parfaite est produite par un élément déterminé [x, on dira que l'ensemble est continu.

La continuité et la densité sont des propriétés que, par leur nature même, nos sens ne peuvent percevoir : on ne peut jamais démontrer leur existence avec rigueur, quand il s'agit d'êtres appartenant au monde extérieur, telles que grandeurs, temps, masses, quoiqu'il semble qu*elles appartiennent tout naturellement au domaine de notre connaissance. On peut aisément construire des systèmes de concepts purement idéaux possédant la densité sans la continuité, ou bien les deux propriétés simultanément (*).

Les fractions rationnelles fournissent l'exemple d'un ensemble parfaitement dense. Cet ensemble «^ n'est pas continu. Soit, en

effet, a = — une fraction rationnelle, dont les deux termes soient

premiers entre eux et ne soient pas des carrés parfaits; [jl ne sera pas le carré d'une fraction rationnelle. En effet, si l'on avait

on en conclurait et, par suite,

ce qui est contraire à l'hypothèse. Faisons alors dans l'ensemble c*R une coupure (A, B) telle que A renferme toutes les fractions dont le carré est inférieur à |jl, et B toutes les fractions dont le carré est supérieur à a. On ne pourra trouver ni dans A un élément supérieur à tous les autres, ni dans B un élément plus petit que tous les autres; la coupure (A, B) n'est donc pas produite par un élément de Jl.

En effet, soit a = — un élément de A; montrons qu'on peut

trouver un autre élément a' supérieur à a et appartenant à A. Par

hypothèse,

( ' ) Ce fait a été démontré par Dedekind, à qui nous devons d'ailleurs la définition de la continuité donnée ci-dessus. Cf. les écrits de Dedckind : Continuité et Nombres irrationnels (Braunschweig, 1872 et 1892) ; Que sont et que signifient les Nombres (Braunschweig, 1888 et 1898.) D'autres ensembles, possédant la continuité, ont été formés par Weierstrass et G. Cantor.

Soit^ un entier arbitraire; choisissons un autre entiers: plus grand que^, de telle sorte que

Il en résulte

x^(mq^— np^) > nxy(ip-\- i) ^ ni^ip xy ->t- y'^)\ par suite

mq^x^ > n (px -f-y )*.

Si donc on considère la fraction a'=:px-]'y : qx^ elle sera certainement plus grande que a; la condition précédente signifie

que af^ <i --• Donc a' appartient à l'ensemble A.

On montrerait de même que B ne contient aucun élément inférieur à tous les autres.

L'ensemble A peut, au contraire, nous servir de point de départ pour la construction d'un ensemble continu. Toutes les coupures de 1^ forment évidemment un ensemble; soit $. Considérons deux éléments différents de cet ensemble, a = (A, B), a'— (A', B'); A sera une partie de A', ou bien A' une partie de A. Car, si un élément quelconque a appartient à A, tout élément de^, inférieur à Uj appartiendra aussi à A. Si A est une partie de A', nous dirons que a est plus petit que a!. L'ensemble S sera maintenant ordonné.

Supposons que les coupures produites par les nombres rationnels aient pour valeurs ces nombres mêmes, et désignons-les, pour abréger, sous le nom de coupures rationnelles. L'ensemble § contient alors l'ensemble,^; c'est certainement un ensemble de densité par/aile. Cet ensemble $ est de plus continu.

En effet, désignons par les lettres de ronde X^ iPo, ... les coupures de S; dans l'ensemble de ces coupures, considérons-en une (Xj ilb). Soit A l'ensemble des fractions rationnelles qui produisent des coupures appartenant à A; B l'ensemble des fractions rationnelles qui produisent des coupures appartenant àiJÎ); Télémenl a = (A, B) appartiendra à S; je dis qu'il produit dans S la coupure {X, olb). A cet effet, il suffira de montrer que tout élément a', plus petit que a, appartient à X^ et tout élément P', supérieur à a, àolb.

Si, en effet, l'élément a'=:(A', B') est plus petit que a, c'est

qu^il existe des nombres rationnels appartenant à A et non contenus dans A' ; il y aura donc un nombre [jl tel que a' <; |x <I a ; ce nombre a engendre une coupure appartenant à X, et, par suite, appartient lui-même à <X>] a fortiorile nombre a'<< [a appartient aussi à X.

On montrerait de même que tout nombre P' > a appartient à ilï). Par là il est prouvé que l'ensemble S est continu.

Ces considérations très abstraites nous donnent la certitude que rhjpothèse d'un ensemble continu n'offre aucune contradiction, et que de tels ensembles existent au moins dans le domaine spéculatif. La Géométrie (et de même l'Analyse qui se sert volontiers des figurations géométriques) a pendant longtemps supposé tacitement l'existence d'ensembles continus comme une sorte d'axiome; tel celui formé par les points d'une droite ou de tout autre trait continu. Même la différence entre les ensembles parfaitement denses et les ensembles continus, qui est au fond de la distinction entre les longueurs commensurables et incommensurables, n'a pas échappé aux géomètres anciens (*).

Dans la suite nous nous servirons aussi de ces considérations géométriques et nous admettrons sans discussion que les points d'une droite forment un ensemble continu.

Un ensemble ordonné DK est dit mesurable s'il remplit les conditions suivantes : L'addition et la multiplication peuvent s'effectuer sur tous les éléments de Dïb et fournissent d'autres éléments du même ensemble; de même, on peut soustraire un élément d'un autre plus grand que lui, et obtenir encore un élément de l'ensemble. D'une manière plus précise, on suppose que de deux éléments a et b (pouvant d'ailleurs être identiques) on sait déduire, suivant une certaine règle, un autre élément a -\- b de OÏL, de telle sorte que a -i- b soit supérieur à a et 6, et qu'en outre ces éléments vérifient les propriétés connues de l'addition

a-+-6 = 6-ha, (aH-6) -f- c = a •4-(6 H- c).

Etant donnés deux éléments a et c, dont le second est plus

( ' ) EucLiDE, Éléments, Livre X.

1?ÎTR0DUCTI0N. 9

grand que le premier, on sait trouver un troisième élément 6, tel quea-j- b = c-^ ce qui s'exprime, au moyen du signe de la soustraction, par l'égalité b ^= c — a. Deux éléments inégaux de l'ensemble OÎL ont donc toujours une différence déterminée. De ces hypothèses, il résulte qu'une somme augmente quand l'un de ses termes augmente. En ajoutant entre eux m éléments a, on fait la multiplication ; le résultat en sera désigné par ma,

11 faut joindre aux hypothèses faites la suivante : a étant donné, il existe toujours un multiple ma de a qui soit supérieur à un élément donné b. Parmi les éléments d'un ensemble mesurable, il n'en existe pas qui soit plus grand que tous les autres.

Dans un ensemble mesurable de densité parfaite, il n'existe pas non plus d'élément plus petit que tous les autres. Si, en effet, a était ce plus petit élément et b un élément quelconque, il ne saurait y avoir aucun élément entre 6 et 6 -f- a. Car, si b<^c <C b -^a, il résulte, de ce que l'ensemble est mesurable, que l'élément a^ z=zc — b est inférieur à a, ce qui est impossible par hypothèse. Il en résulte inversement qu'un ensemble mesurable, ne possédant pas d'élément plus petit que tous les autres, est parfaitement dense. Soient, en effet, a et « -h & deux éléments quelconques; il suffit d'ajouter à a un élément plus petit que 6, pour obtenir un élément situé entre a et a -f- 6.

Si l'ensemble est continu, les hypothèses nécessaires pour qu'il soit mesurable se réduisent, parce qu'alors la soustraction est une conséquence de l'addition. Soient, en effet, a et c deux éléments d'un ensemble dïL, ordonné et continu, possédant la propriété d'addition. Si c^a, on peut y faire une coupure (A, B), en rangeant dans A tous les éléments x pour lesquels a-r x^^ c, et dans B tous ceux pour lesquels a-f-^ >> c. Cette coupure est produite par un élément 6, pour lequel on a nécessairement a -h 6 — c.

Les nombres entiers successifs forment, d'après notre définition, un ensemble mesurable possédant un élément plus petit que tous les autres, le nombre i . L'ensemble des nombres fractionnaires rationnels devient mesurable si l'on adopte comme règles d'addition celles bien connues des nombres fractionnaires. Un ensemble particulièrement important, et pour ainsi dire typique pour les ensembles mesurables, est celui formé par les segments

lO INTRODUCTION.

d^une droite, qu'on additionDe en les portant les uns à la suite des autres. D'autres exemples d'ensembles mesurables sont fournis parles quantités de matière qu'on peut comparera l'aide de la balance, les temps qu'on peut mesurer à l'aide d'une montre. Le procédé de mesure ne résulte d'ailleurs pas de la nature même de l'ensemble; c'est la pensée de l'observateur qui l'y associe. C'est ainsi qu'il serait parfaitement permis d'appeler somme des longueurs a ei b l'hypoténuse du triangle rectangle, ayant a et b pour côtés de l'angle droit, au lieu de porter ces longueurs l'une à la suite de l'autre, comme on a l'habitude de le faire.

Considérons maintenant l'ensemble continu S des coupures faites dans l'ensemble <^ des nombres rationnels; pour lui donner la propriété de mesure, nous nous appuierons sur les considérations suivantes.

Soient a = (A, B) un élément de S et }jl un nombre rationnel donné; on peut toujours trouver un élément a de A, tel que a'-f- (X = 6' appartienne à B. Soient, en effet, a un élément de A et b un élément de B. On peut toujours déterminer un entier m tel que m^^b — a, et, par suite, a-^mjjL^è; il en résulte que a-h m^ est contenu dans B. Soit h le plus petit entier, tel que a -\- h[L appartienne à B; l'élément a'= a-h {h — i)[jl fera partie de A, et l'élément a' -f- jjl =r^ 6' appartient donc à B.

Nous appelons maintenant somme dear= (A, B) et a' -— (A', B- ), et nous désignerons para"= (A'', B") la coupure de l'ensemble ^ obtenue de la manière suivante : A" est l'ensemble des nombres rationnels a", tels qu'il existe un nombre a dans A et un nombre a' dans A', tel que a!' ^,a-h a'. (A'', B'') est certainement une coupure, car si a" appartient à A", il en est de même de tout nombre rationnel qui lui est inférieur; de plus, il y a des nombres qui ne sont pas contenus dans A'', savoir tous ceux de la forme a h- a' et b -h 6'. De plus, Cf." est plus grand que a et a' ; car A" contient tous les éléments de A; si a' est l'un des éléments rationnels de A', on peut choisir un élément a de A' de telle manière que l'élément a -\- a' de A' soit contenu dans B; A'' contient donc plus d'éléments que B'. Les coupures produites par les nombres rationnels |x et ul' donnent, par addition, la coupure produite par [jlH- [jl'.

L'importance de cette définition se manifeste dans le théorème suivant :

3\L étant un ensemble mesurable, si 31t« est une partie de DU, continue et mesurable suis^ant la règle adoptée pour 311, V ensemble 0K| est identique à 31L.

On le démontre comme il suit :

I** Si OTLi est différent de OU/, il existe dans 3\L des éléments a inférieurs à tous les éléments de ^4.

Soit, en effet, a un élément de d\L non contenu dans 0\L^, Si ^4 contient des éléments inférieurs à a, cet élément a produit dans 3ïLi une coupure (A|, B|) qu'on obtient en rangeant dans A| tous les éléments de OFli inférieurs à a, et dans B, tous les autres. D'autre part, DR/ étant continu, cette coupure doit être produite par un élément a^ de DR/4 ; comme enfin DIL1 est une partie de DR, ai doit figurer dans DR/. Mais si a ne figure pas dans DR/i , a et ai sont différents et aucun des éléments compris entre a et ai ne peut appartenir à tOK,. Si, en effet, on avait a <^ 6| <C ai, 6| étant un élément de DR^i, il faudrait que 6| appartînt à Â|, puisqu'il est inférieur à ai, et à B|, puisqu'il est supérieur à a.

Par conséquent, il n'existe pas d'élément, dans DR/|, inférieur à ai — a ou a — a|. c. q. f. d.

2° Faisons maintenant une coupure (A, B) dans l'ensemble DR., en rangeant dans B tous les éléments égaux ou supérieurs à un élément de DR.|, et dans A les éléments a inférieurs à tous les éléments de D1L|. Soit a l'élément de DR/ qui produit cette coupure. En appelant a' un élément quelconque de DR/ supérieur à a, il existe certainement entre a et a' un élément de DK| et, par suite, autant d'éléments que l'on veut, tandis que DR^i ne renferme aucun élément plus petit que a.

Si donc on fait les hypothèses

ai etaj é tan t deux élément s différentsdeDR^i, on aura a2 — a^ >a; et pourtant, puisque l'ensemble est mesurable, a% — ai devrait être contenu dans DR/|. U y a donc contradiction.

Par suite, il n^existe pas d^élément de DïL qui ne soit contenu dans DVui .

Le théorème que nous venons de démontrer ne convient pas aux ensembles continus qui ne possèdent pas la propriété de mesure. Pour en donner un exemple, considérons l'ensemble S des coupures a définies précédemment 5 joignons-y un élément appelé o, et qui, par hypothèse, sera inférieur à tous les a. Soit Jl»i cet ensemble. Construisons ensuite un nouvel ensemble e,l)2, formé par les couples (a, P), a et j3 représentant chacun un élément quelconque de cAo,. Ordonnons ces éléments en donnant le premier rang à ceux qui renferment le plus petit a; si a a la même valeur dans deux éléments, donnons le premier rang à celui qui renferme le plus petit j3- En prenant a^^ (a, o), l'ensemble «A^o contient l'ensemble Xt^ sans lui être identique. Les deux ensembles sont continus, mais ne sont pas tous deux mesurables.

On pourra de même former d'autres ensembles plus complets ->l>3, formés avec les éléments (a, j3, y), chacun des signes a, p, y représentant successivement les différents éléments de ^.Im, ....

Un autre exemple instructif d'un ensemble continu, mais non mesurable, est le suivant : Sur une droite on prend, dans le sens de gauche à droite, trois points fixes a, b^ c\ on considère l'ensemble des points de cette droite situés à gauche de a et à droite de c, et l'on y joint le point intermédiaire b, La conception géométrique de l'ensemble présente une lacune de dimensions finies ('). Pourtant cet ensemble est continu; on s'en rend compte en examinant l'ensemble correspondant dans la suite des nombres.

Prenons dans cet ensemble S un ensemble partiel S|, que nous formons avec les coupures a inférieures à 1 , les coupures p supérieures à 3, et le nombre a.

Les éléments de 8| sont ordonnés comme dans S; on peut faire correspondre d'une façon univoque les éléments des deux ensembles, en conservant cet ordre. Il suffit de faire correspondre les éléments a, inférieurs à i, aux mêmes éléments de S«, l'élément 2 de 2), à l'élément i de S, et chaque élément ^ plus grand

(') Ce genre d'ensembles continus m'a été signalé par M. G. Cantor.

INTRODUCTION. l3

que 3 à rélément p — 2 de S. II ea résulte qu'en passant de S à S| les éléments n'ont pour ainsi dire que changé de nom.

Passons maintenant à la définition des rapports. De toute antiquité on les a considérés comme la base de la théorie des nombres ; nous commençons par suivre la marche d'Euclide {^Eléments, Livre V).

Si Ton réunit par couples les éléments d'un ensemble mesurable OK., et si l'on considère ces couples comme constituant des

éléments, on forme un nouvel ensemble. Désignons par a \ b o\x j un tel couple; distinguons, en supposant a^b^ le couple j du

couple-; appelons a le numérateur et b le dénominateur. Ces

couples seront appelés rapports; nous allons transformer leur ensemble en ensemble ordonné et mesurable.

Supposons d'abord qu'il existe deux entiers m et n, tels que na = mb. Il en 'est toujours ainsi lorsque l'ensemble dXL est celui des nombres entiers, ou lorsque a et b sont des longueurs conimensurables entre elles. Si p et q sont deux autres nombres entiers, on ne peut avoir qa =: pb que si mq ^= np. Le couple des nombres p et q est parfaitement déterminé par celte condition, si l'on exige en outre que p et q soient des nombres premiers entre eux. h étant un nombre entier arbitraire, on peut alors prendre m = A/?, n = hq. Dans ce cas nous dirons que le rapport est rationnel et nous le considérerons comme égal à la

fraction rationnelle — ou -• Ces fractions rationnelles peuvent

donc être envisagées comme rapports de nombres entiers.

Tous les rapports rationnels égaux entre eux peuvent être

considérés comme un seul nombre rationnel.; ils forment, comme

les fractions rationnelles, un ensemble ordonné, mesurable et

parfaitement dense.

L'ensemble des nombres entiers est inclus dans celui des nombres rationnels, à condition d'assimiler le nombre entier m au rapport m \ i.

Revenons maintenant à un ensemble mesurable quelconque On et prenons-y deux éléments a et b. Choisissons (ce qui est tou-

l4 INTRODUCTION.

jours possible) deux entiers m et n, tels que na> mb: on dira que le rapport a l b est plus grand que le rapport — ,

sî ^ ;> £, on a aussi î > —• De même , si n'a < m'b. on en n q ^9

conclut

Si « : 6>m : n, on peut trouver un nombre rationnel -- et, par suite, une infinité, tels que

a m\ ^ m b /Il '' n

J^our le faire voir, nous montrerons qu'on peut trouver une

infinité de rapports rationnels compris entremet—- Soit A' un

entier arbitraire; déterminons un autre entier h de telle sorte que h{na — mb) >> kb^ ce qui est toujours possible. On a alors

a ^ hm -\- k ^ m b ^ /ï^~~ -^ n ' De même, si Ton a

n'a<m'b et h'{m' b — n'a)^ k'uy

il vient

o. K rn! ^ m'

Si maintenant a l b et a l ^ sont deux rapports quelconques (que nous désignerons pour abréger par e et e), dont les éléments appartiennent au même ensemble ou à des ensembles différents, il peut se présenter deux cas : i** il n'j a aucun rapport rationnel y. entre e et e; a° il j a un rapport rationnel compris entre e et e.

Dans le premier cas, on dit que e et e sont égaux; on voit que deux rapports égaux à un troisième sont aussi égaux entre eux. Soient, enelFet, e et e deux rapports égaux à e'; il ne peut y avoir de rapport rationnel [x entre e et e; car, si e <;[!.•<£, le rapport e' est nécessairement inférieur, égal ou supérieur à [Ji. Si e' = [Ji, il y aura des rapports rationnels, aussi bien entre e et e' qu'entre e' et e. Si e'< jx, ce dernier est compris entre e' et e; si

INTRObUCTION. ]5

<?' > [X, ce dernier est compris entre e et e' . Dans aucun cas, e! ne pourrait être égal à la fois à é et £.

Dans le deuxième cas, lesVapports e et e sont dits inégaux. On

a alors ou bien

e < |x < e ou e > {jl' > e.

Os deux cas s'excluent; car la première hypothèse entraîne s <: (x', par suite [x < [x', donc aussi e < |x'.

Dans cette première h^^pothèse on dit que e est plus petit que e ; dans le deuxième cas, e est plus grand que e.

Entre deux rapports inégaux, on peut insérer autant de rapports rationnels qu'on Je voudra.

Considérons maintenant tous les rapports égaux entre eux; nous parvenons ainsi à un concept d'espèce que nous désignerons par le mot nombre dans son sens le plus général. Le nombre est donc un mot ou un signe représentatif d'un ensemble dont les éléments sont les rapports égaux entre eux. Dans cette idée du nombre sont aussi compris les rapports rationnels et, par suite, les nombres entiers de la suite naturelle, considérés comme rapports de la forme — • Ils forment l'ensemble des nombres rationnels.

Les nombres qui n'ont pas pour origine les rapports rationnels s'appellent des nombres ir ratio miels.

D'après tout ce que nous venons d'exposer, les nombres forment un ensemble ordonné; on peut fixer leur ordre, en choisissant pour les représenter Tun des rapports qui ont servi à les définir.

De deux rapports ayant le même dénominateur, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur; de même, deux rapports ayant le même numérateur, le plus petit est celui qui a le plus grand dénominateur. '

Soient, en effet, a, a', b des éléments quelconques d'un ensemble mesurable, a' étant plus grand que a. Déterminons un entier n tel que na^b et n(a' —a) >> 6. Soit m le plus petit entier vérifiant la condition mb > na. On aura alors na -< mbj mais na' >• mb. Si, en effet, on avait mb ^na\ on aurait

m6^/ia-f- n{a' — a),

j6 introduction.

et, par suite,

on aurait donc, contrairement à l'hypolhèse,

(m — \)b > na.

Il résulte de là que

donc

D^une façon analogue, on prouverait que si è^- 6, on a r^-rr

On exprime ce fait en disant qu'un rapport croît avec son numérateur, mais décroît quand son dénominateur croît. On en conclut facilement la proposition suivante :

Si a^b^c^d sont quatre éléments quelconques d'un ensemble

mesurable vérifiant la relation -=- = -;, on a aussi - = -,•

Si Ton avait, en effet, a l c <C b ', d^ on pourrait trouver deux entiers m et n, tels que

na < mcy nb > md.

Mais, diaprés la proposition précédente, on aurait

na : nb < me ; mrf,

et, par suite,

a : b <Cc : dy

contrairement à l'hypothèse faite.

De là cette proposition importante :

a, 6, c, d étant quatre éléments d^ un même ensemble mesurable et continu, si Von se donne arbitrairement a, 6, c, rf, on