CL C

peut déterminer a de façon que ^ = ^ •

Ce théorème est une conséquence immédiate de la continuité. Faisons une coupure (A, B) dans l'ensemble OÏL, en réunissant

dans A tous les éléments x tels que j < -y> et dans B tous les éléments X tels que r > j- Cette coupure sera produite par un élé-

ment a, tel que ^ = -^. Ce théorème reste encore vrai pour certains ensembles non continus, tels que celui formé par les fractions rationnelles.

Il en résulte que, pour représenter deux nombres, on peut toujours choisir deux rapports dont les éléments appartiennent au même ensemble, et qui ont un même dénominateur arbitrairement choisi.

L'addition sera définie par l'égalité

ce c

Cette règle contient comme cas particulier celle de l'addition des fractions rationnelles. Pour la justifier d'une façon générale,

il suffit de montrer que si - = -^ et - = -7? on a aussi

a-hb : c = a' -hb' : c'.

Nous montrerons, a cet eilet, que si - = -7 et >> — -, — ,

' ' ^ ce ce

on a aussi - > — • Par hypothèse, il existe deux entiers m et /z,

ce f

tels que

end

Il en résulte

/i(a-H6)>mc et mc'> /la'-h 6',

et, par suite,

b me — na me — na! b' •

7 ^ — ZT» — ' — zr:? — ^ z? •

c ne ne e

autre part, 1 hypothèse - = t montre que = -, — ;

ce ttc ne

on en conclut

Il résulte de là que les nombres, tels que nous les avons définis, forment aussi un ensemble mesurable. Si a et c sont deux éléments d'un ensemble continu, tous les rapports - ayant même

dénominateur c forment un ensemble continu. Comme d'ailleurs nous savons qu'il peut exister des ensembles continus, il en résulte que les nombres forment un ensemble continu.

l8 INTRODUCTION.

Soient a, P, y» ^ ^^^ nombres; la proportion ô = | permet de

déterminer l'un d'eux lorsque les trois autres sont donnés. Supposons 8 = 1, et cherchons a; nous définissons ainsi le produit a = py. La possibilité d'intervertir l'ordre des facteurs sans changer la valeur du produit est une conséquence de cette proposition : la proportion a: y=P : Sest une conséquence de a: p = Y- ^• Chercher y c'est définir la division*, enfin, de la définition de Taddition donnée ci-dessus, il résulte que

a(P H- y) = ap-f-ay.

Les quatre opérations fondamentales sont ainsi définies dans le domaine des nombres, avec la seule restriction que la soustraction a — b n'est possible que si 6 <; a.

La construction d'une coupure dans la suite des nombres démontre l'existence d'un nombre satisfaisant à des conditions déterminées. On obtient, par exemple, une coupure (A, B) en réunissant dans A tous les nombres dont les carrés sont plus petits qu'un nombre donné a, dans B tous ceux dont le carré est plus ^rand qu€ a; à cette coupure correspond un nombre dont le carré

est égal à a, et qu'on désigne par y/a; l'existence de y/a est ainsi démontrée.

On peut aussi ramener aux coupures les suites de nombres employées par M. G. Cantor pour la définition des nombres irrationnels (*).

IM. Cantor appelle suite de nombres un système illimité de nombres, ordonnés suivant une loi déterminée,

S = Xij x%^ Xzi . . .

possédant les propriétés suivantes : Tous les nombres S sont supérieurs à un nombre déterminé g\ S étant un nombre arbitrairement choisi, la différence \xm — Xn\ est inférieure à 8 pour toutes les valeurs de m et /i, supérieures à un certain nombre suffisamment grand.

( ' ) Cantor, Extension d'une proposition de la théorie des séries trigonométriques {Math, Ann,, t. V; 1872). — Hbine, Éléments de la théorie des /onctions {Journal fUr Mathematik, t. LXXIV ; 1872 ).

Il existe toujours des nombres supérieurs aux nombres d'une telle suite. Prenons en effet 5 arbitrairement, déterminons la valeur correspondante de n; l'élément Xm ne dépassera aucun des nombres ^<, ^2» •••? ^/d ^/i + ^j quelque grand que soit m. Faisons nlaintenant une coupure (A, B) en réunissant dans B les nombres qui, pour une valeur suffisamment grande de n, ne sont dépassés par aucun élément Xn^ et dans A tous les autres nombres (lesquels sont inférieurs, par conséquent, à une infinité de nombres Xn)» Si cette coupure est produite par le nombre a, il existe une infinité de nombres Xa entre a — e et a, si petit que soit e. On peut dire que ce nombre a, parfaitement déterminé quand le système S est donné, est engendré par la suite S. D'après M. Cantor la suite S est la définition même du nombre a.

Il va de soi qu'un même nombre a peut être engendré par des suites très différentes. Toutes ces suites doivent être considérées comme égales. On peut supposer entre autres que les nombres de Ja suite S sont des fractions rationnelles. Inversement on démontre sans difliculté que, pour chaque nombre donné a, on peut indiquer des suites S qui engendrent a; l'ensemble des suites S est donc aussi un ensemble continu.

Dans la théorie des opérations fondamentales, on a dû s'imposer, à propos de la soustraction, uni^ restriction très incommode; on va s'en affranchir par l'introduction du zéro et des nombres négatifs.

Soit X un élément quelconque du système des nombres définis jusqu'à présent, que nous désignerons sous le nom de nombres positifs. Considérons une seconde fois ce même système 5 désignons maintenant ses éléments par — x\ appelons-le système des nombres négatifs. Ordonnons ce système en sens inverse du premier, en mettant plus petit là où dans le système x nous mettions plus grand et inversement. L'addition et la soustraction seront définies dans le système — x^ comme dans le sys« lème Xj

Nous associons maintenant ces deux systèmes, en convenant

que tous les éléments — x sont plus petits que tous les éléments x. Nous obtenons ainsi un ensemble ordonné dans lequel il n y a ni plus grand ni plus petit élément. Ce système est, en général, continu; il n'y a exception que pour la coupure ( — x^ x). La continuité est rompue là où les deux systèmes se réunissent. Pour rétablir la continuité, il faut donc ajouter au système un nouveau nombre zéro ou o, qui sera précisément défini par la coupure ( — Xy x). Nous avons ainsi un ensemble ordonné, continu, illimité dans les deux sens, la suite complète des nombres réels. Dans ce nouveau domaine de nombres, ainsi étendu, nous définissons l'addition d'une façon générale par les égalités suivantes

3c -h (r-y) = ^ — J" (si x^y), x -\- {—y) = — (7 — jr) (si^ > a:). Ces. définitions étant données, on vérifie que

I, ^2, ^3 étant trois nombres y we/co/25rwe5. On voit que l'addition est une opération commutative et associative.

La somme d'un nombre quelconque de termes se fait en associant ces termes deux à deux dans un ordre arbitraire. Il n'est plus besoin de parler de la soustraction, à condition de définir ^1 — ^2 comme somme de z^ et — ^2, et de poser — ( — z) = z.

On représente géométriquement la suite des nombres par les points d'une droite; on porte à partir d'un point fixe O les segments mesurés par les nombres, dans un sens ou dans l'autre, suivant que les nombres sont positifs ou négatifs. On obtient la représentation de la somme z^ -i-^2 ^^ portant, à partir de l'extrémité du segment z^^ le segment z^ dans un sens ou dans l'autre, suivant que ce segment est positif ou négatif.

Dans le domaine des nombres ainsi généralisé, la multiplication et la division sont définies par les équations

(—x){—y) = xy, oa? = o.

La division, considérée comme opération inverse de la multiplication, est toujours possible, excepté quand le diviseur est nul.

La valeur d^un produit de plusieurs facteurs, ou le quotient de deux de ces produits, est positif ou négatif, selon que le nombre des facteurs négatifs est pair ou impair.

Une nouvelle extension de l'idée de nombre consiste dans l'introduction des nombres complexes.

A.ssocions deux à deux les nombres en couples {x^ y)\ deux tels couples (jt, y) et (a, b) seront dits égaux lorsqu'on a simultanément x^= a^ y= b.

Ces couples forment un ensemble dont les éléments ne sont pas ordonnés; les quatre opérations fondamentales sur ces éléments seront définies par les règles suivantes : soit

( x,y) H- (a, 6) == (a? -h a, y -H 6), {x^y){a,b) ={xa-'yh, xh-^ya).

Nous supposerons, en outre, que (j?, o) = x, ce qui n'est pas en contradiction avec ces équations. Le nombre (a:, ^) ne sera nul que si l'on a simultanément :r=o, yr=o. Pour abréger, nous poserons (o, i) == /• Les équations ci-dessus fournissent alors les résultats suivants

(j?, o)(o, i) = (o, a?) ou =/j7, (a7,o)H-(o,>') = (a;,>') ou ^x-^-iy, x-hyi-ha-hbù = (x-ha)-\-(y-\-b)i.

Par suite, comme opération inverse de l'addition