CHAPITRE m. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

011 ail

il CD résulte

CIq

ai

Cn ^ I

donc, d'après (a),

|/(:r)|>-coR'^

Si donc on choisit R de façon que

il viendra (3)

A cette proposition se rattache la suivante : V. /(x) est une fonction continue de x.

\o'\c\ la sig^nification de cet énoncé : Le module de x étant inférieur à un nombre donné R, et (o étant un nombre positif aussi pelit que Ton veut, on peut trouver un nombre positif e, de telle sorte que la condition

entraîne la condition

£ dépendant seulement du choix de to et non de celui de x (con tînuilé régulière).

D'après Téqualion (2) du § 13, on a

I fix-^U , -f{x) = hf'{x)-^ — r{x)

fni^X)

Si nous supposons le module de h inférieur à i, le module de la quantité entre crochets

f'i-^)^ r/'<^) -^-"'-^ aohn-i

l'iS LIVRE I. — LES PRINCIPES.

est inférieur à un nombre déterminé k différent de zéro; on obtient ce nombre en remplaçant dans (6) h par i, les coefficients «0, ai, . . ., a,i i par leurs modules et x par R; cette substitution a pour effet de remplacer chaque terme de la somme (6) par son module ou par un nombre supérieur. Si donc on choisit e assez

petit pour que

ÊK<a),

Téquation (5) montre que la condition (4) est remplie tant que l'on a p <C e.

On peut donner au théorème sur la continuité de la fonction f{x) une forme quelque peu différente, qui sera importante dans la suite. Posons

çp(/i) =hf{x)-\ /''(a')-h...-h/i''ao.

Puisque le module d'une somme de deux termes est compris outre la somme et la différence des modules de ces termes, iJ vient, d'après (5),

ou bien

-|?(/Ol<l/(^-^/^)|-l/(^)l<l?(^)|.

Mais la condition p < e entraîne |'^(/i)|<Iw. On peut donc (lire que :