I. Une équation de degré n ne peut avoir plus de n racines
En effet, si /(a:) avait plus de n racines, la fonction /< {x) qui n'est que du degré n — i en aurait plus de n — i. D'autre part, une équation du premier degré ne peut avoir plus d'une racine. Notre théorème résulte de là, en raisonnant de proche en proche.
On donne aussi à ce théorème la forme suivante :
II. Si une fonction du degré n a plus de n racines, tous ses coefficients sont nuls.
Soit maintenant ^ une racine de /, (^), on pourra poser de même
la fonction /'2(:r) n'étant que du degré n — a, et ayant e7o comme coefficient de son terme de degré le plus élevé. Si donc on suppose que chacune des fonctions f\{oc)^f2{x) que l'on obtient à l'aide de ces divisions successives admet au moins une racine, on trouve finalement
(3) /(ar) = rto{^ — a)(^— P)' • '(^ — v).
CIIàPITRB III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 125
Le théorème fondamental peut donc aussi s'énoncer ainsi :
Toute fonction entière de degré n peut être décomposée en n facteurs linéaires.
Les quantités a, p, . . ., V sont toutes racines de/(j:), et leur nombre est égal à n. Rien ne suppose, d'ailleurs, que ces quantités soient inégales. Mais alors y(:r) aurait moins de n racines, tout en étant décomposable en n facteurs linéaires. AGn de rétablir l'accord, on convient que, si/(^) est divisible par une certaine puissance de a: — a, la racine a sera comptée autant de fois qu'il j a d'unités dans l'exposant de la puissance ; c'est en ce sens qu'on parle de racines simples, doubles, triples, etc.
En se reportant à la notion de dérivée [§ 13, (2)], et en désignant par a une quantité arbitraire, on a
(4) /(^)=/U)-h(x-a)/'(a)-+.!iî^l^/'(a)4-....
Si l'on suppose quey(a) est nul, il en résulte
par suite, on a
Il en résulte que a est racine double de /(^), si /'(a) s'annule en même temps que /(a). La formule (4) montre d'ailleurs que, dans cette hypothèse, y(^) est divisible par (j: — a)'-. En continuant à raisonner de même, on parvient donc à ce théorème :
IlL La condition nécessaire et suffisante pour que a soit une racine d^ordre m de f{jo), est que f{%)^ /'(*)? •• '^f^~^{^) soient nulles^ et quef'^{'x) ne le soit pas.
LIVRK f.
§ 34. — Continuité des fonctions entières.
Soit toujours
f{x) = UqX^ -4- aix'^-^ -r- a^x"-' -^. . ,-h an
une fonction entière de x. Démontrons d'abord la propositionsuivante :
IV. La fonction /(x) devient infinie en même temps que l<r valeur absolue de x.
Cela signifie qu'étant donné un nombre positif C, aussi gran<l qu'on le veut, on peut trouver un nombre posilif R, tel que la condition | j; | >► R entraîne la condition
Sous forme géométrique on peut dire, que, étant donné le nombre C, on peut tracer de l'origine comme centre un cercle de ravon R assez grand, pour qu'en dehors de ce cercle le module de la fonction ne. soit pas inférieur à G.
Ce ibéorème est évident pour la fonction x" ] en effet, /• étant le module de x^ r" est celui de x"; sitôt que /• est plus grand que I, r" devient supérieur à r et croît indéfiniment avec n.
Pour démontrer le théorème général, désignons par r, Cor C|, . . ., Cff les modules de J7, «oj ^i » • • •> ^n- On a alors
\/{x)\ = rn
an
Dans l'Introduction nous avons démontré que le module d'une somme est compris entre la différence et la somme des modules des termes. On a donc
On
an
__ fî
Les quantités Cq, C|, ..., c„ sont des constantes données; on peut donc trouver un nombre 11 tel que, sous la condition r>>R,
