CHAPITRE III. — LES RACINES DBS ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

positif, n impair et x négatif, positif si a^ est positif, n impair et X positif.

En effet, écrivons /(j:) sous la forme

On peut choisir le module de x assez grand pour que le module de la somme

ai a^ an

soit inférieur à celui de «oî 'e crochet aura alors le signe de «o et le conservera pour tout module de x plus grand que le module considéré.

§ 35. — Changements de signe de f(x). — Racines des équations de degré impair et des équations binômes.

Les propositions du paragraphe précédent nous permettent de démontrer une proposition très importante :

VIII. Si les coefficients de f{x) sont réels, et si f(a) et f{b) sont de signes contraires, il y a au moins une racine Ç de V équation f (^x) = o comprise entre a et b, \

Supposons a<C b^ /{^) négatif, f{b) positif. Partageons les nombres compris entre a et 6 en deux groupes X et ail); un nombre a appartient à X^ si entre a et a il nWa aucun nombre x pour lequel f{x) soit positif; un nombre ^ appartient à iJb, si entre ^ et a il y a au moins une valeur de x pour laquelle f{x) est positif; il ne peut évidemment se présenter d'autre cas; par suite, tout nombre compris entre a et b appartient soit à X, soit à ilî». Nous ferons même entrer dans X les nombres inférieurs à a, et dans \S\> les nombres supérieurs à 6. Si a appartient à X, il en sera de même de toute valeur de x inférieure à a; si ^ appartient à ilK, il en sera de même de toute valeur de x supérieure à p.

Tout nombre ^ est donc supérieur à tout nombre a; les deux domaines de nombres Xetifb définissent donc une coupure (Introduction), produite par un nombre Ç tel que tout nombre a, inférieur à Ç, appartienne à X, et tout nombre ^ supérieur à Ç, à iiî>.