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l3o LIYRB I. — LES PRINCIPES.

Si, pour une valeur déterminée, /{^o) est négatif ou positif, on peut déterminer (V, paragraphe précédent) un nombre positif e, tel que pour toute valeur de x comprise entre Xq — e et Xq -\- e les valeurs def(x) soient toutes négatives ou toutes positives. Il en résulte que f{^) ne peut être ni négatif, ni positif; il est donc nul. En effet, si /(S) était négatif, f{x) serait négatif pour toutes les valeurs de x comprises entre Ç et Ç -f- e; ces valeurs, plus grandes que Ç, appartiendraient néanmoins à <Jl>. De même si /(i) était positif, il en serait de même pour /{x) quand x serait compris entre $ — s et $; et ces valeurs, plus petites que Ç, appartiendraient à ill. D'après la définition même de ^, ces deux conclusions sont inexactes.

On raisonnerait de même sif(a) était positif et/(6) négatif. Notre théorème est donc démontré.

Nous déduirons de ce qui précède deux conséquences importantes.

Puisque /(Ç) est nul, on pourra déterminer un nombre e tel que, dans Tintervalle 5 — e à S -h e, f(^) ^^ s'annule que pour x = ^. Il peut alors se présenter quatre cas différents, relativement aux signes que peut acquérir f{x) dans les intervalles (S — Sj 5) et (Ç, Ç + e). Ils sont résumés dans le tableau suivant :

Soit/^^^(r) la première des dérivées de/{x), qui ne s'annule pas pour X = ^', la formule (2) du § 13 nous montre alors que

les quatre cas précédents se distinguent alors par les caractères

suivants :