Arrivons au cas où

la question est singulièrement plus complexe. Comme on veut que les équations permettent de prendre arbitrairement trois des quantités a, il faut que les (£, tj) forment un groupe spécial de points au sens du Chapitre XV. Plaçons-nous dans le cas où les modules de f sont quelconques, comme nous l'avons fait dans ce Chapitre.

Soit, pour les équations (E), a- le nombre correspondant au théorème de Riemann-Roch, c'est-à-dire que p — o- désigne le nombre des équations (E) linéairement indépendantes. On pourra

trent. Gela implique que toutes les tangentes rencontrent une droite fixe (car on

peut supposer le point C fixe). Or il est manifeste qu'une courbe dont toutes les

tan-gentes rencontrent une droite fixe est une courbe plane, car, si la droite fixe

est l'axe Oz, on aura

dy ■£

dx xy d'uù se conclut y — Cx, C étant une constante.

donc prendre arbitrairement

fi — p -h a

des quantités a. Ce nombre devra être au moins égal à trois pour que la courbe ne soit pas plane; donc

Or on a vu (Chap. XV, n° 17) que

On a donc à la fois

a1 4- <t(;jl — p -h i) — /> 1 o, <* = 3 -h/? — u.

La première inégalité est donc vérifiée pour i = 3 -\- p — u, ce qui donne

Donc, quand cette condition est remplie {les modules étant quelconques), on aura une courbe gauche correspondant à f.

3. Evaluons le nombre des constantes pour les courbes gauches envisagées au numéro précédent. Nous avons d'abord les

modules «le la courbe, puis les pôles restant arbitraires en nombre

lx — (l1 -/> + <*)*, el ensuite les

quantités a, [J, Y et enfin les trois constantes A, B, C; le loul

donne

4 ijl -+- i( p ■+- 3 — rs —

Si l'on prend t tel que

;ji — p h- <x = 3,

Ou aura le nombre fu. Ce nombre [u <-^i ici !<• maximum, puisque

6l { CHAPITRE XVIII.

Or les familles correspondant à des valeurs de 7, telles que

sont visiblement des cas particuliers de celles où

<r = 3 -h p — ;jl.

Nous avons donc encore 4[* arbitraires, quand

pèjlp + t),

les modules de la courbe algébrique étant d? ailleurs arbitraires. Ce résultat remarquable est dû à M. Nother (loc. cit.). Nous retrouvons le même nombre que pour les courbes du n° 1.

4. Revenons, pour terminer ces considérations, sur les courbes du n° 1, c'est-à-dire sur le cas où

h^-f- -^- - + i (ou |x^/?-t-3).

Il est facile de voir que toute courbe plane de degré jjl ayant h points doubles (la condition précédente étant remplie) est la perspective a" une courbe gauche de degré [x.

Soit en effet

la courbe plane. Prenons comme pôles les \l points de la courbe à l'infini; écrivons

y = *ii

Comme pi^p-|-3, on peut certainement trouver une fonction z qui n'est pas une fonction linéaire de x ely, comme il résulte du théorème de Riemann-Roch. On a donc, pour les équations précédentes, une courbe gauche, dont la courbe plane f est la perspective.

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURRES GAUCHES ALGERRIQUES. 6l5

II. — Représentation des courbes gauches au moyen des monoïdes.

o. On peut employer, pour les courbes gauches, un autre mode de représentation. Les axes de coordonnées ayant une position arbitraire par rapport à la courbe, projetons, sur le plan des xy, la courbe parallèlement à l'axe des z\ on aura ainsi (en désignant maintenant par d le degré de la courbe gauche) la courbe plane

avec h points doubles, si h est le nombre de points doubles apparents de la courbe gauche. A un point arbitraire de cette courbe plane correspondra un seul point de la courbe gauche; on aura donc, pour z, une fonction rationnelle de x et y, et la courbe gauche sera représentée par les équations

l ?0, y) = <>, ( ySx>y)'

La courbe y (x,y) = o passe par les points doubles de o, ainsi que la courbe à = o.

Pour les h points doubles de ©, on a deux valeurs pour z. 11 faut que »!/ s'annule pour les points communs à y et à <p, afin que

— reste finie pour tout pointa distance finie de 0=0; car notre

courbe gauche n'a pas de point à l'infini dans la direction de Taxe O2 (les axes ayanl été arbitrairement choisis).

Enfin, en faisant une transformation homographique, on peut supposer que y esl de degré v et •!» de degré v -h 1 (v étant un nombre qui, a priori, peut rire quelconque).

Les deux équations (2), en fait, définissent non seulement la courbe gauche, mais, en outre, un certain nombre de droites 1 Os, qui correspondent aux solutions communes aui t pois équations

r,y) = <>- W*>y)**'°* X(*»^) — °- On se rappellera que, des trois courbes précédentes, la première

6l6 CHAPITRE XVIII.

est de degré d (degré de la courbe gauche) avec h points doubles, les deux autres sont de degré v+i et v ; la courbe y passe par les points doubles de ©, et la courbe <l passe par les points communs aux deux autres. M. Cayley appelait monoïde la surface représentée par l'équation

cette monoïde est de degré v -h i avec un point multiple d'ordre v à l'infini dans la direction de l'axe O^.

6. Halphen, dans ses célèbres travaux sur les courbes gauches, s'est beaucoup servi de la représentation précédente. Celle-ci peut être faite de bien des manières. En effet, si <]>< et y, sont deux polynômes en x et y, tels que

soit divisible par cp, on aura évidemment

comme nouvelle représentation de la courbe gauche. Voici, à ce sujet, un théorème fondamental :

Soit ^| (x, y) un polynôme s* annulant aux points doubles de cp, on pourra trouver un polynôme ty{ correspondant, tel que la courbe soit donnée par

Pour l'établir, envisageons le résultant R (x) provenant de l'élimination dey entre les deux équations

<p(#, y) = °, x-to y) = o; on aura

R(j7) = Mtp + Ny^,

M et N étant des polynômes en x et y. On en déduit (3) R(^).t];./J = Ax + Bcp,

A et B étant encore des polynômes en x et y. Nous allons mon-

trerque A etB sont divisibles par R(#), et la proposition énoncée sera établie.

Parmi les points de rencontre de es et y se trouvent les points doubles de cp et des points simples. Soit d'abord (a, b) un de ces derniers points; supposons que (x, y) se déplace sur la courbe 9; il résulte de l'identité (3), puisque le quotient

reste fini en (a, &), que le quotient

restera fini aussi en (a, b). Ceci aura lieu pour les d points de rencontre (qu'on peut supposer distincts) de la droite x = a avec la courbe cp. Il en résulte (') que l'on peut mettre A (#, y) sous la forme

j A(x.y) = (x — ajAj+oHi (Xt et Bt polynômes).

En substituant dans l'identité (3), il en résulte que (x — a) est nécessairement en facteur dans les deux membres, et nous avons une identité analogue, mais où R (x) ne contient plus le facteur (x — a). En allant ainsi de proche en proche, on fera disparaître tous les facteurs x — a correspondant aux points de rencontre de cp et de y, qui sont points simples de cp. •

Supposons maintenant que («, b) soit un point double de cp. Reprenons (#, y) sur la courbe cp ; l'identité (3) nous montre que

(S) ±1Sl1Ù

s'annule quand (x, y) tend vers (a, b) sur L'une <>u l'autre branche de la courbe; ceci résulte de ce que y, s'annule en | <iy b I et que

(') Nom .t\ons rencontré ce genre de question dans l<- problème de la Réduction des intégrales abéliennes (t. I, p, 68 «1 mut.).

6l8 CHAPITRE XVIII.

reste finie en (a, b). D'ailleurs, pour les (d — 2) autres points simples de rencontre de la droite x = a avec o, le quotient (5) reste fini; il résulte encore de tout cela (voir le passage cité en note) que A (x,y) est susceptible de la forme (4); les mêmes conclusions suivent comme plus haut. On pourra finalement faire disparaître R (x) et l'identité (3) aura la forme

ty~/j =K^-hL<p (K et L polynômes en #, y). Donc, quand on a es (a?, y) = 0, on a

i . il

et, par suite, on a une représentation avec le dénominateur y^ comme nous l'avons énoncé.

7. Nous avons démontré plus haut (n° 4, où le degré de la courbe était désigné par jjl) qu'une courbe plane de degré d avec h points doubles, pour laquelle

AS(rf-,)(rf-3)+|'

est la perspective d'une courbe gauche de degré d sans point singulier. Nous pouvons retrouver ce résultat, en nous servant de la représentation de Cayley. On peut prendre pour dénominateur v,

dans l'équation de la monoïde, le polynôme -p> puisqu'il s'annule

pour les points doubles de o.

La courbe -±- = o a avec es, en dehors des points doubles,

d ( d — 1 ) — ih

points communs. Par les points doubles, et ces derniers points, le

tout étant en nombre

nous pouvons faire passer une courbe de degré d, et cette courbe sera distincte de cp et ne se composera pas de -p et d'une droite. En effet, le nombre des constantes dans cette courbe est

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 6lQ

•et ce nombre est supérieur à trois, car l'inégalité revient à

(rf-a)(rf-3)

inégalité qui est vérifiée. Désignons donc par d* la courbe générale de degré d passant par les d (d — i) — h points indiqués, nous avons les deux équations

ôx

qui représentent une courbe gauche, dont es est la perspective; c'est ce que nous voulions montrer.

8. 11 est facile d'avoir le nombre des constantes figurant dans la famille précédente de courbes gauches. Dans © le nombre des constantes est

h (courbe de degré d avec h points doubles).

Dans 'l nous avons

La son/me de ces deux nombres est égala /\d; c'est le résultai trouvé au n° 1.

9. Faisons encore, avec Halphen, quelques remarques sur la représentation des courbes gauches avec les monoïdes. J'écrirai les équations sous la forme

©est toujours de degré d avec h points doubles. Le polynôme U\ est d'un certain degré v 4- 1, et le poljnome u0 de degré v. La courbe u% = 0 passe simplement par '<>s points doubles <!«' © = o,

et la courbe «, = o passe en chaque point commun aux courbes u0 et cd. Dans ces conditions, on a évidemment

Les points communs à u0 et cp (en dehors des points doubles) sont

au nombre de

v d — ih.

Il y a donc sur cp

v d — 2 h -h h ou v d — h

points communs à u{ et à u0. Donc

Vûf — ^v(v + i), Ainsi, on a les deux inégalités

On aura donc

Il y a, nous l'avons dit, une infinité de représentations d'une courbe gauche donnée avec des monoïdes. Le minimum du nombre v joue un rôle important dans la classification d'Halphen; désignons-le par n. Par les h points doubles, on ne doit pas pouvoir faire passer une courbe de degré n — i. Donc

c'est-à-dire

10. On a trouvé, au numéro précédent, que n est au moins égal

à i . Soit d pair, et examinons si cette limite peut être atteinte

effectivement. Supposons qu'il en soit ainsi, et désignons par

la représentation correspondante. Puisque u{ s'annule au point

double, on peut avoir une autre représentation où u{ sera le dénominateur, soit

z = — ( u2 étant de degré

et nécessairement

est divisible par cp. Lexpression u\ — w0w2 ne peut être nulle,

quels que soient x et y (car u{ et u0 auraient un facteur commun,

et nous n'aurions pas le degré minimum). On a donc, en tenant

compte des degrés,

le facteur constant pouvant être supposé égal à un dans le second membre. Pareillement, il y aura une représentation où le dénominateur sera u2 ; soit u3 l de degré- + i ) le numérateur correspondant. L'expression

u\ ltî — "o^a

est divisible par cp et l'on a

MjWj — UqU3 = <7.<p (a étant du premier degré en x et y).

En éliminant » entre les identités é

u\ — a0a2=cp, u2Ui— U0U3 = «<p,

on a

ui(ui — au\) = u0(u3 — aux).

Donc

Uf — aii\ = bu0,

b étant un polynôme du second degré en # et y.

Cette équation nous donne un résultat très remarquable.

Puisque

on aura

/.r/ courbe considérée est donc sur une surface du second degré, \insi une courbe, pour laquelle Le minimum /? de v atteint la

valeui 1. est située nécessairement sur une surface du second

degré. Elle est l'intersection complète des deux surfaces

Z'—az — 6=0, z = —t

dont l'une est du second degré, l'autre de degré 1 .

La réciproque est évidente. Si l'on a une surface de degré

deux et une surface de degré 1 (d étant pair bien entendu),

on aura une courbe que l'on pourra mettre sous la forme de Cayley, avec la monoïde de degré 1

7 élant de de°ré 1 , et d» de degré - •

Nous n'examinerons pas le cas oà d est impair, qui est plus compliqué.

11. Une étude plus complète de la représentation des courbes gauches algébriques m'entraînerait trop loin, et j'énoncerai seulement en terminant quelques résultats dont on trouvera la démonstration dans les Mémoires cités plus haut. Un des plus beaux théorèmes d'Halphen est relatif au minimum du nombre h des points doubles apparents d'une courbe gauche de degré d sans points multiples. Ce nombre est le plus grand entier contenu dans

Ce minimum peut être effectivement atteint, et alors la courbe est sur une surface du second degré. Les courbes de degré d ayant le nombre minimum de points doubles apparents s'obtiennent de la manière suivante. Si d = 2X, il suffira de considérer l'intersection complète d'une surface du second degré avec une surface de degré \. Sid=2\-J\- 1, on considère une quadrique et une surface de degré X -f- 1 passant par une droite de la quadrique. Il y a, en dehors de la droite, une courbe d'intersection de degré 2*X — (— 1 , qui est la courbe cherchée.

M. Castelnuovo a généralisé le résultat d'Halphen, relatif au

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURRES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 6ïS

nombre ( — ■ — ) > en faisant connaître une formule plus générale,

relative au maximum du genre d'une courbe gauche de degré donné, ayant ou non des points mulliples effectifs ( Rendiconti di Palermo, t. VII). Je l'ai reproduite dans le Tome II (p. 43 > de ma Théorie des fonctions algébriques de deux variables.