ALGÉBRIQUES
I. — Sur une représentation paramétrique des courbes gauches.
1. Nous terminerons ce Volume par quelques remarques relatives aux courbes gauches algébriques sans points multiples. Elles se présenteront simplement comme applications des théorèmes établis sur les courbes planes; il ne peut être question ici d'approfondir la théorie extrêmement difficile des courbes gauches algébriques ( *). •
Soit donnée une courbe algébrique ou une surface de Riemann
de genre p.
Si l'on prend trois fonctions x, y, z uniformes sur cette surface de Riemann et ayant seulement des pôles, on aura défini une courbe algébrique, en général, gauche. Supposons que ces trois fonctions aient jjl pôles simples communs. La courbe gauche sera, en général, de degré \k. Soit, en effet, le plan
(') Les Mémoires fondamentaux sur ce sujet sont le Mémoire de MM. Brill et INôtiier (Mathemat. Annalen, t. VII), le Mémoire d'IÏALPHEN [Classijïcatioti des courbes gauches algébriques {Journal de V École Polytechnique, III* Cahier, 1882)] et le Mémoire de M. Nôther {Académie des Sciences de Berlin, 1882). Dans la Théorie des fonctions algébriques des deux variables de MM. Picard et Simart, on trouve divers développements sur les courbes gauches. (Tome I, Chapitre VIII, et Tome II, Chapitre II, Section Y. )
G KN'ÉR ALITÉS SUR LES COURBES GAUCHES ALGÉBRIQUES. 6l 1
En remplaçant x, y, z par leurs valeurs, le premier membre devient une fonction de (;, r\ ) du degré u, qui a, par suite, u, racines. On peut décomposer xy y, z en éléments simples, comme il a été expliqué au Chapitre XV (p. 5i6). Soient
x = A -f- a, Ej h- a2 K> -+- . . • H- *u Eji,
r= B-hP,Ei + -h^ K,.,
z = G -+- yi Et-h + Ta Ejt,
on a les relations (loc. cit.)
et les relations analogues avec les [3 et les v.
En général, on tirera /> des a en fonction dés a — p autres, et
de même pour les [3 et les y.
Si l'on a
on aura une relation linéaire entre x, y, c, et la courbe sera plane [à moins que les points (ç, r\) ne soient particuliers, auquel cas il pourrait v avoir plus de u, — p lettres a arbitraires ] . Nous en parlerons plus bas.
Quand on a
on peut faire ainsi correspondre, point par point, à la courbe de genre p une courbé gauche de degré tx,
Le nombre des points doubles apparents ( ') de cette courbe
(') Nous avons déjà parlé (Tome; [, page '\~ 1 ) des pointa doubles apparente d'une courbe gauebe. Il est à peu près évident que la perspective d'une courbe gauebe sans points singuliers, prise d'un point de vue arbitraire, n'a <|tie dtl peints doubles. Pour qu'il en fui autrement, il faudrait que par tout point de l'espace passât au moins une sécante triple. Ceci entraîne que toute sécante double s<»it tnple, et il est aisé de voir que ceci n'est possible que pour une courbe plane. Soit en cil * t une courbe pour laquelle toute sécante double sérail triple; partons de deus points arbitraires B el <; de la courbe. Par hypothèse, la dron encontre encore la courbe en un point \. Considérons le cône ayant
^ pour sommet el p;i^--.i n t par la courbe; les tangentes en B el C à lu courbe vent dans le plan tangent .1 ce cône U long de la droite \i!<'. D'où la 1 onclusioa que les tangentes en deux points arbitraires B el C de no n courbe m rencena-
6l2 CHAPITRE XVIII.
gauche est manifestement égal au nombre des points doubles de /, puisqu'une perspective arbitraire de la courbe gauche sur un plan quelconque et la courbe f sont deux courbes planes de même degré jjl, et se correspondent point par point. Nous désignerons par h ce nombre de points doubles apparents. L'inégalité (i) revient à
h > (e-iHe-S) +;Ii L = di-iKn-«) h\
Dans ce cas, pour chaque degré jjl et chaque nombre A, on peut regarder les courbes comme formant une seule famille, correspondant à l'ensemble des courbes planes de degré jj. avec h points doubles. Le nombre des constantes de cette famille est facile à calculer. Il y a les 3p — 3 modules dans /, les u. pôles (£, rj), les 3 ({/. — p) constantes a, P, y, puis A, B,G, ce qui donne
3/> — 3 -f- \x -f- 3 ( p. — p) -f- 3 ou 4 H1-
Ce nombre 4 ^ est, fait bien remarquable, indépendant de h.
