X INTRODUCTION DE LA PREMIÈRE ÉDITION

principaux résultats de cette théorie. Cette vue claire de la surface de Riemann une fois obtenue, toutes les applications se déroulent avec la même facilité que dans la théorie classique de Cauchy relative au plan simple. Mais il importe de juger à sa véritable valeur la belle conception de Riemann. Ce serait une vue incomplète que de la regarder seulement comme une méthode simplifîcative pour présenter la théorie des fonctions algébriques. Si importante que soit la simplification apportée dans cette étude par la considération de la surface à plusieurs feuillets, ce n'est pas là ce qui fait le grand intérêt des idées de Riemann. Le point essentiel de sa théorie est dans la conception a priori de la surface connexe formée d'un nombre limité de feuillets plans, et dans le fait qu'à une telle surface conçue dans toute sa généralité correspond une classe de courbes algébriques. Nous n'avons donc pas voulu mutiler la pensée profonde de Riemann, et nous avons consacré un Chapitre à la question difficile et capitale de l'existence des fonctions analytiques sur une surface de Riemann arbitrairement donnée; le problème même est susceptible de se généraliser, si l'on prend une surface fermée arbitraire dans l'espace et que l'on considère l'équation de Beltrami qui lui correspond.

J'avais annoncé dans le premier Volume que je comptais m'occuper surtout dans ce Traité de la théorie des équations différentielles. On trouvera ici un seul Chapitre consacré à cette théorie telle qu'on l'entend ordinairement dans les Ouvrages classiques. Je pourrais prétexter que l'équation de Laplace est une équation différentielle; j'aime mieux avouer que mon plan s'est un peu élargi. Je m'occuperai particulièrement, dans le Tome III, de l'étude des équations