I ./ . i dx dy

IVr. y) Q

(*) Compai < i ai il le paragraphe • du Mémoire de M. Poincaré, intitulé : Méthode de m. Stieltje».

3l4 CHAPITRE IX.

en prenant une certaine surface d'intégration. Posons ici

pO> y) = x — a — <xf(x, y),

Considérant toujours les deux contours C et G' du paragraphe précédent, voyons si les conditions du n° 19, sous lesquelles nous avons fait le calcul de l'intégrale, sont vérifiées.

Tout d'abord nous avons à vérifier que ni l'une ni l'autre des fonctions P et Q ne s'annule quand x et y sont respectivement sur C et G'. Or il en est bien ainsi, puisque

quand x et y sont respectivement sur G et G'. En second lieu, et pour la même raison, l'équation en x

aura une racine a l'intérieur de G, y étant sur G'. Enfin l'équation

en x

n'aura pas de racines à l'intérieur de C, y étant toujours sur G', puisque, d'après nos hypothèses, x étant quelconque à l'intérieur

de G et y sur C', on a

Ainsi en prenant comme surface d'intégration les courbes G et C' parcourues positivement, nous avons

(x — a — af) {y

dx dy

fD(P. Q)|

LD(^7)J.r

(£, t\) désignant, comme il a été dit, la racine commune à P = o, Q = o.

Nous allons maintenant suivre absolument la même marche que dans le cas d'une seule variable. ÎNous pouvons développer en série les deux fonctions

a — cr.f y — 6 -h (3<p

DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDEPENDANTES. 3i5

puisque

1 <i et

on a ainsi

av; 3« fin^n

(x — a — af)(y — b — 3cp ; ^j (a? — a)",+1 O — 6)"+1 Nous avons donc la formule

où

mn~J J {x-a)>n^{y-by^ dX(iy'

cette intégrale double étant prise dans les mêmes conditions que l'intégrale dont nous sommes parti. Or nous avons déjà calculé la valeur de cette intégrale; on a