V. — Formule de Lagrange pour une ou deux équations

2o. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant une formule célèbre due à Lagrange. Cette formule établie par le grand géomètre pour le cas d'une seule équation a été étendue par Laplace à deux ou plusieurs équations. On peut traiter les deux cas par une méthode analogue; aussi, pour ne pas les séparer, avons-nous placé ici l'étude de cette importante série.

La série de Lagrange a pour objet d'obtenir l'une des racines de

l'équation

z — a — uf(z) = o,

développée suivant les puissances de a, ou plus généralement, le développement d'une fonction holomorphe quelconque de cette racine. Nous allons suivre la même marche que M. Hermite dans son Cours lithographie de la Faculté des Sciences (4e édition, p. 182); nous renverrons aussi à cet Ouvrage pour la bibliographie de la question.

Nous démontrerons d'abord un lemme préliminaire. Soient F et 4> deux équations holomorphes; les équations

ont le même nombre de racines comprises dans un contour fermé S, sous la condition que, tout le long de ce contour, on ait constamment

3ll

La différence entre le nombre des racines de ces deux équations comprises à l'intérieur de S est, en effet,

-L, r«Mog(F-<I>)--U /"rflogF,

qui peut s écrire

2~lJ °\ F/'

i tout le long de S, il en résulte que cette inté-

et, puisque

grale est nulle.

Appliquons ce résultat à l'équation

On suppose que a représente un point situé à l'intérieur d'un contour S, et que la constante a soit assez petite" pour que l'on ait sur ce contour

ce qui peut évidemment être réalisé. Alors l'équation proposée aura, à l'intérieur du contour, le même nombre de racines que L'équation z—a, c'est-à-dire une seule : c'est celle racine que nous allons envisager dans la suite.

2(>. Soit donc ^ la racine, contenue dans S, de l'équation

en posant F(s) = 3 — a — v.f(z).

En désignant par \\{z) une fonction liolomorphe quelconque

de s, on aura

mç) i r\\(z)dz

Or on peut développer en série suivanl l<-s puissances

de a

z — a — if(z) z- n (««—a)1

qui converge d'après L'inégalité

3l2 CHAPITRE IX.

Nous aurons donc le développement

Pour être entièrement rigoureux, il eût fallu considérer le reste dans le développement (9), et montrer que son intégrale tendait

vers zéro avec -; mais il est inutile de s'arrêter sur ce point qui

se traite de la même manière que dans la démonstration de la série de Tajlor d'après Cauchj.

L'expression du coefficient J„ est facile à trouver. Nous avons vu, en effet, que l'on a d'une manière générale

D£4>(a) 1 f ' ®(z)dz \.i...n iizij^iz — a)n+l

ce qui donne

Dgr/"(g)II(q;]

ni tl •

I • 2 . . . Il

On a donc le développement

ni?) yq"Dg[/'(fl)n(fl)] ' .

F'(o ~Zj 1.2.. ./i ^-°> ii 2. • ••;•

De ce développement, on peut en déduire un second, en posant

U(z) = *(*) F'(*) = *(s)[i - «/'(-s)], ^(s) étant une fonction holomorphe arbitraire de z. Il vient

et, en groupant les termes qui correspondent à une même puissance de a, on a, après des réductions immédiates,

Pour les applications de cette formule, nous renverrons au Cours de M. Hermite, où l'on trouvera, en particulier, une étude approfondie de l'équation connue en Astronomie sous le nom adéquation de Kepler.

27. Gomme nous l'avons dit plus haut, Laplace a généralisé la

formule de Lagrange en considérant deux équations

x — b — uf(x,y) = o, jK — b — $v(xty) = o.

Nous supposons que/ et o soient des fonctions holomorphes de x

et.rO-

Il importe d'abord de bien préciser le système de racines que

nous allons envisager. On suppose que x et y restent respectivement à l'intérieur de deux contours C et O ; a est à l'intérieur du contour C et b à l'intérieur du contour G'. Quand y a une valeur arbitraire à l'intérieur de C, si l'on choisit la constante a assez petite pour que

x décrivant le contour C, on est assuré que l'équation en x

x — a — zf(x} y) = o

a une racine et une seule à l'intérieur de C, et d'après le théorème général sur les fonctions implicites, cette racine x sera fonction holomorphe de a et y.

Nous la substituons dans l'équation

si 3 est assez petit pour que

x étant quelconque à l'intérieur de C, et y décrivant le contour G', cette équation en y aura une seule racine contenue dans G'. \insi, moyennant les deux inégalités (10) et (u), on est assuré que les deux équations proposées ont un système de racines (.r. y i el un seul, pour Lequel x et y sont respectivement à l'intérieur des courbes G et G'. Nous désignerons par | :, r\ i ces racines.