I. — Quelques remarques générales. Arcs analytiques

1. Nous avons déjà indiqué (t. I, p. 558) les propriétés élémentaires de la représentation conforme; nous voulons maintenant nous occuper particulièrement de la représentation conforme d'une aire donnée sur une autre aire également donnée. Mais, avant d'aborder ce problème, faisons quelques remarques générales.

Soil

f(z) étant une fonction holomorphe dans le voisinage de z = a et f'(ci) étant différent de zéro ; en posanty(a) = 6, d'après le théorème démontré (Chap. IX, n° 9), on peut autour de a et b comme centres, décrire, dans les plans respectifs des variables z et Z, des cercles y et Y tels que, pour une valeur de Z contenue dans T, l'équation (i) n'ait qu'une seule racine z contenue dans y; de plus, la fonction implicite z est une fonction holomorphe de Z dans T. Aux points z de y pourront correspondre des points Z en dehors de T; réduisons alors la région dans le plan s, en prenant un cercle y, concentrique à y, tel qu'à tout point de l'intérieur de y, corresponde un point Z situé dans T. Ceci posé, si à l'intérieur de y, on décrit une courbe fermée c, ne se coupant pas elle-même, il lui correspondra dans le plan F une courbe fermée C et l'on aura une représentation conforme l'une sur l'autre des deux aires limitées par c et C. Cette représentation sera telle qu'à chaque point de Cune quelconque des deux aires correspondra un seul point de l 'autre. La chose est évidente, puisque, d'après ce qui

a été dit, à deux points différents z ne peut correspondre la même valeur de Z.

2. Il nous faut maintenant définir ce qu'on appelle un arc de courbe analytique. Supposons qu'une courbe soit telle que les coordonnées x el y d'un point arbitraire soient des fonctions analytiques d'un paramètre t

f(t) et o(t) sont supposées des fonctions holomorphes de t dans le voisinage de la valeur réelle t = t0, les coefficients du développement en série suivant les puissances de t — t0 étant, bien entendu, réels. Nous dirons que cet arc est analytique; de plus, cet arc analytique sera régulier au point correspondant à t= t0, si Ion a pu choisir le paramètre t, dont dépendent analjtiquemeni ./ et j', de telle sorte que

f'(t0) et <p'(*0)

ne soient pas nuls à la fois. Un arc déterminé x j sera dit régulier, s'il est régulier en tous ses points.

La notion d'arc régulier joue un rôle important dans les questions relatives à l'extension des fondions harmoniques. Ainsi, soil un contour fermé C, h admettons qu'une portion x[j de ce contour forme un arc régulier de ligne analytique. On se donne sur le contour une succession de valeurs, et l'on suppose que l'ensemble des Valeurs données le long de l'arc at(3 /or/ne une fonction analytique du paramètre t. Dans ces conditions, nous allons démontrer le théorème suivant <lù à M. Schwarz :

La fonction harmonique prenant les valeurs données sur le contour peut se prolonger analytique ment au delà de Varc a3.