Nous établirons d'abord deui cas particuliers de ce théo

Supposons que l'arc *j3 se réduise ;i un segmenl de l'axe des r, et que les valeurs données le long <!<• xp se réduisent à zéro. I> un poinl ./ „ de xj3 décrivons une demi -circonférence y contenue dans l'intérieur de l'aire < Ar. 3o), La fonction harmonique // que il- 01 > étudions prend certaines valeurs !<• long de y. < b com-

piétons la demi-circonférence y par la demi-circonférence y' symétrique par rapport àO^. Formons maintenant la fonction har-

Fig. 3o.

monique p, continue à l'intérieur du cercle limité par y et y', prenant sur y les mêmes valeurs que u et prenant, en chaque point de y', une valeur égale et de signe contraire à la valeur de u au point symétrique par rapport à. Ox qui lui correspond sur y. Il est aisé de voir que la fonction p ainsi définie s'annule sur le diamètre Ox\ c'est ce que montre la formule de Poisson

' i7zj0 R2 — 2R/-cos(^- ?)H-r2' puisque, d'après nos hypothèses,

La fonction v et la fonction u prennent donc les mêmes valeurs sur la demi-circonférence y et sur son diamètre Ox. La fonction u coïncide donc avec v\ v est une fonction harmonique définie dans tout le cercle limité par y et y'. Il en résulte que u peut se prolonger analytiquement au delà de Ox, comme nous voulions V établir .

Examinons maintenant le cas moins particulier où, l'arc oc{3 étant toujours un segment de l'axe de #, les valeurs données le long de ocjiJ forment une fonction analytique de x. Soit, dans le voisinage

de x § ,

f(x) = a0-h aj (a? — x0) -f- v.2(x — O70)2-H. . .

la valeur de cette fonction. La fonction

f(z) = ao-t-oCiO — x0) -t- <x.2(z — x0)^-\- . • •

sera une fonction holomorphe de z dans le voisinage de z = x0.

SUR LA REPKÉSEISTATION CONFORME. 3l9

Mettons-la sous la forme

f{z)=V{x,y) + iO(x,y).

Soit, d'autre part, notre fonction harmonique u(x, y) satisfaisant au problème proposé. La différence

sera une fonction harmonique s'annulant sur l'axe des x dans le voisinage de x0. On pourra donc, d'après ce qui vient d'être établi, la prolonger analjtiquement au delà de l'axe des x. Or P(x,y) est définie des deux côtés de cet axe; il en est, par suite, de même de u(x, y) dont le prolongement analytique devient dès lors évident.

Nous arrivons enfin au cas général qui va se ramener au cas précédent. Nous avons, pour définir l'arc a(3 dans le voisinage d'un de ses points (#0, y0),

y =jo-+- b{t — tQ )-\-b'(t — t0y -h...,

les coefficients a et b n'étant pas nuls tous deux. On peut effectuer une transformation conforme qui transforme une petite aire, autour du point (./•„. r0) dans la figure proposée, en une autre où la courbe correspondant à l'arc aj3 sera un segment de l'axe des quantités réelles. 11 suffit, en effet, de faire la transformai ion conforme entre z et T représentée par

M = x0-h i>0 ■+■ ( a -+• ib ) ( T — t0 ) -h (a -+- ib' ) ( T - t0y- -+- . . . .

i oefficienl a -f- ib n'étant pas nul, nous sommes assuré qu'à une petite région <lu plan z=\X + iy (autour du point zQ =. x0-\- iy{) ), i ra> ersée par l'arc xji, correspondra, dans le plan de la variable complexe T, une région autour du point i0 situé sur Taxe réel, «'t cet axe réel correspondra à l'arc k(3. Nous sommes donc ramené au second particulier que nous avons examiné ci-dessus. La fonction harmonique de a: et y que nous étudions se transforme <'n une fonction harmonique de / et /', en posant T= t -+- //'; 1rs valeurs qu'elle ad lur !<• segment de l'axe des f. ou nous avons & la considérer, menl une fonction anal) tique de t : on peut donc étendre ana

lytiquement la fonction an delà de l'axe des t, et, par suite, en revenant à la figure primitive, au delà de l'arc a|3.

4. Un cas particulièrement simple et intéressant est celui d'un contour fermé C qui, pris dans son ensemble, forme un seul arc régulier de ligne analytique : tel est le cas d'un cercle ou d'une ellipse. Si les valeurs données sur ce contour donnent, dans le voisinage de chaque point, une fonction analytique du paramètre, en fonction duquel, on peut exprimer les coordonnées d'un point de la courbe, la fonction harmonique prenant ces valeurs sur le contour pourra être étendue au delà de cette courbe et sera nécessairement déterminée dans un certain contour C comprenant à son intérieur le contour C et étant suffisamment rapproché.

Un contour C peut être formé de plusieurs arcs réguliers de lignes analytiques, comme par exemple un contour polygonal. Les sommets, c'est-à-dire les points communs à deux de ses lignes analytiques, sont des points autour desquels on n'est pas assuré de pouvoir faire le prolongement analytique de la fonction; il arrivera même, en général, que ce prolongement analytique sera impossible. Ainsi, dans le cas actuel, le prolongement analytique de la fonction harmonique est possible en tous les points du contour, sauf aux sommets.

II. — Représentation conforme d'une aire simple sur un cercle.

5. Une des applications les plus intéressantes que Riemann ait faites du principe de Dirichlet est relative à la représentation conforme d'une aire limitée par un seul contour (ou simple) sur la surface d'un cercle (' ). Ainsi, étant donnée une aire simple A limitée par un contour G, dans le plan de la variable £, et un cercle dans le plan de la variable Z, nous allons montrer qu'on peut trouver une fonction analytique uniforme

telle qu'à chaque point de A corresponde un point du cercle et

(') Riemann, Dissertation inaugurale (Œuvres complètes, p. 4°).

qu'inversement à chaque point du cercle corresponde un point et un seul de A.

Admettons l'existence de la fonction précédente : nous supposons que le cercle ait l'origine pour centre et F unité pour rayon et de plus que le centre du cercle corresponde au point ^0 de

l'aire A, c'est-à-dire que

Z0 étant une racine simple de cette équation.

De la définition même de la représentation conforme résulte quef(z) n'a pas d'autre racine à l'intérieur de l'aire A et sur son contour C; par suite, cette fonction est nécessairement de la

forint'

H(z) étant une fonction holomorphe à l'intérieur de l'aire A, qu'il s'aait de déterminer. Posons

H(.->=P-w'Q et s — *Q=r<;'<P;

on peut alors écrire /(s) sous la forme

f(z) = eLoë/-+r+/(U+?)j

où Logr désigne le logarithme arithmétique de r ou de | 3 — zQ |- Pour qu'à chaque point du contour C, dans le plan des s, corresponde un point de la circonférence de rayon un dans le plan des Z, il faut que la fonction Logr -h P s'annule sur le contour C. Donc P est une fonction harmonique uniforme et continue dans toute l'aire A et prenant sur C la succession de valeurs indiquée

par I.» fonction

Log /•.

Nous pouvoir, d'après le principe de Dirichlet, former une fonction harmonique ainsi définie, et la fonction Q, qui est la fonction associée de I*. esl alors déterminée par L'intégrale

r"'ydP , <)V ,

rue une constante arbitraire.

il Nous connaissons donc, une fois fixé !«• poml zn <!<• \ qui

doit correspondre au centre du cercle, la forme nécessaire de la fonction H(z) et, par suite, de la fonction de transformation.

Partant maintenant a priori de l'expression précédente, montrons qu'elle donne bien la transformation cherchée. Soit

U = P H-Logr,

V = Q + cp;

on suppose qu'on donne une valeur déterminée à la constante arbitraire y qui entre dans l'expression de Q.

La fonction harmonique U ( 1 ) sera nulle sur C, égale à — 00 au point z0 et continue en tout autre point de l'aire; elle sera donc négative pour tous les points de A. Les courbes

seront des courbes fermées ne se coupant pas elles-mêmes et séparant la région de l'aire A où U>a de celle où U •< a; elles comprennent z0 à leur intérieur. Tout cela résulte des propriétés des fonctions harmoniques : la courbe (2) contient z0 à son intérieur, sinon la fonction U, constante sur la courbe, serait constante à son intérieur et, par suite, dans toute l'aire; pour la même raison également la courbe ne se coupe pas elle-même. A la courbe (2) correspond, par la transformation

dans le plan Z, la circonférence du rayon ea ayant l'origine pour centre. Nous allons voir qu'à un point de cette circonférence correspond un point et un seul de la courbe (2). Des deux relations

dx dy

dy dx

on déduit, relativement à une courbe fermée quelconque,

dU d\

dn ds

(J) La fonction ( — U) s'appelle la fonction de Green de Taire A relative au pôle zt : comme on le voit elle domine la représentation conforme; il est clair que

-U = log

pfan dri

la dérivée -y- étant prise dans le sens de la normale intérieure et

—7- représentant la dérivée de Y considérée comme fonction de l'arc s de la courbe, cet arc étant compté positivement dans le sens direct. Or, sur la courbe (2), —z- est constamment négatif, par suite

-s- est toujours positif. La fonction "S ( ./ . r) va donc constamment

en croissant quand le point (#, y) marche sur la courbe (2) dans le sens positif, et puisque, dans l'expression

'o a augmenté de 27t après le tour complet, il en est de même de Y. Il en résulte que le point Z correspondant à z décrit d'une manière continue, toujours dans le même sens, le cercle de rayon ea. A un point Z de cette circonférence correspond donc un point et un seul de la courbe (2). Nous voyons maintenant bien nettement qu'à un point Z du cercle de rayon un, dans le plan de la variable Z, < orrespond un point z et un seul dans Taire A. A un point Z correspond, en effet, une valeur déterminée de a : c'est celle pour

laquelle

ea = |Z|.

On ii alors dans le plan z une courbe (2) et sur celle-ci, comme nous venons de le dire, un point et un seul correspond à Z. On voit qu il reste dans la fonction employée pour la transformation une indéterminée réelle, la constante y; elle sera déterminée si l'on se don; e 1*» point (lu contour ( ! qui devra correspondre à un point de la circonférence.

7. Le problème de la représentation conforme de l'aire A sur un cercle est complètement résolu par la formule

it-à-dire qu'à chaque point «le l'intérieur d'une quelconque de

deux aires 1 orrespond un point et un seul de l'intérieur '1

l'autre, Relativement aux points du contour 0 et de la circonfé-

reii. e du 1 ercle, une difficulté se présente dont Rieraann ne

paraît pas s'être préoccupé. Revenons, en effet, aux deux fonc-

ls I* et Q qui ont joué le rôle essentiel. La fonction Pi

est définie à l'intérieur de l'aire A et sur le contour C lui-même, mais il n'en est pas de même de la fonction associée Q. Celle-ci est, en effet, définie par l'intégrale

rxy ôp , ôp , J 1*** -■ è£t*>

et nous ne savons rien, du moins en général, sur les valeurs de

^P dP

-r- et -j- sur le contour G. En s'en tenant aux raisonnements des

ax ay

précédents paragraphes, on ne peut donc rien affirmer sur la correspondance des points des contours limitant les deux aires.

Dans un cas particulier, d'ailleurs très étendu, la difficulté se lève immédiatement. Supposons d'abord que le contour G soit formé tout entier d'un seul arc régulier de ligne analytique (une ellipse, par exemple). Gomme la succession des valeurs donnée par

— Logr,

que prend P(./', y) sur G, est une fonction analytique de x et y, elle est aussi une fonction analytique du paramètre avec lequel on exprime analytiquement les coordonnées d'un point de C. Nous pouvons donc faire usage de la remarque du n°4; la fonction P(t, y) peut s'étendre un peu au delà de C : les dérivées

dP dP \, i • i r-

j-etr- sont, par suite, déterminées pour tous les points de C, et

il en est alors de même de Q(#, y)- La difficulté est levée; nous sommes assuré de la correspondance unique entre les points du contour G et de la circonférence.

Si l'on a un contour formé de plusieurs arcs réguliers de ligne analytique, la question est un peu moins simple. La fonction P(#, y) pourra bien s'étendre au delà de tous les points du contour, mais à l'exclusion des sommets (1). Nous allons montrer encore que les différents points de G correspondent à des points différents de la circonférence. Il suffira de considérer uu contour C présentant une pointe unique A. Envisageons les courbes

(*) On ne doit pas oublier qu'un point du contour, où se rencontrent deux lignes analytiques différentes tangentes entre elles, est, dans nos raisonnements, à considérer comme un sommet.

et leur- trajectoires orthogonales partant de deux points a et (j de C situés de part et d'autre de A. Pour une valeur de a négative et trèv petite, nous aurons une courbe voisine de A. qui rencontrera en a' et p' les deux trajectoires orthogonales.

Considérons alors, lu lieu du contour C {fig. 3 i I, celui qu'on

obtient en remplaçant l'arc aAj-J par les arcs aa'. a'Ô', 3 (3. Les fonctions P et Q et. par suite, U et V, sont parfaitement définies en tous les points de ce contour, ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Dans le plan Z va correspondre à ce contour une portion déterminée de la circonférence de rayon un et un arc intérieur. Or, en se servant toujours de la relation

dV dV

dn ds

et en remarquant que, sur a G P(j' a'a, -j- est toujours négatif ou

nul (cette dériver est nulle sur les portions aa', $$' des trajectoires orthogonales . on voit que les points Z de la circonférence de

on ////. correspondant aux différents points de l'arc xC|3 de C, ^"iii eux-mêmes différents : il- forment un arc Y. Faisons tendre maintenant y. el [3 vers \; lare F ira toujours en grandissant à

jure que y. el ,3 se rapprocheront respectivement de \. Nous allons montrer que la limite <le r formera la circonférence toul enti< st-à-dire qu'il ne peut pas arriver que la limite de Y

soit nu arc dont le^ extrémités1 <i et b ne coïncident pas. En effet, dan is, nu certain arc ab <!<• la circonférence de rayon un

respondrail au point \ : en d'autres termes, ^ considérée

"tue hue tion <!<• Z sérail une fonction holomorphe à l'intérieur du cercle <!<■ rayon //// et, quand Z tend vers un point quelconque

3*a6 chapitre x.

de l'arc ab, z tendrait toujours vers la même constante. Or ceci est impossible : nous le montrerons bien nettement en nous reportant aux théorèmes généraux établis au commencement de ce Chapitre. Si l'on pose, en effet,

z = ?(X, Y)-i-»KX, Y) .(Z = X4-"*Y),

les deux fonctions harmoniques cp et <\> prenant des valeurs constantes en tous les points de ab pourront se prolonger analytiquement au delà de ab (§ 3); la fonction z de Z pourra donc se prolonger analjtiquement au delà de l'arc ab, mais comme elle est, par hypothèse, constante en tous les points de ab, elle devra être constante dans toute la région où elle est définie, ce qui est absurde. On voit donc qu'au point A de C correspond un seul point de la circonférence de rayon un. Il y a donc bien correspondance unique entre les points des deux contours (4).

M. Painlevé (2) s'est occupé, dans l'étude de la représentation conforme pour les points du contour, du cas où celui-ci n'est pas formé de lignes analytiques. Nous renverrons à l'intéressant article du savant géomètre; les considérations délicates dont il fait usage nous entraîneraient trop loin.

III. — Quelques exemples de représentation conforme. Méthode de Schwarz pour le principe de Dirichlet.

8. Indiquons quelques exemples de représentation conforme, où nous pourrons effectuer la transformation à l'aide de fonctions déjà étudiées.

Il sera généralement plus simple de considérer, au lieu d'un cercle, un demi-plan, c'est-à-dire la portion d'un plan située du même côté d'une droite indéfinie. Ces deux aires se ramènent immédiatement l'une à l'autre; nous avons vu, en effet (t. 1, p. 566), qu'une transformation

az -+- b

(') J'ai donné pour la première fois la démonstration précédente dans mon Cours en 1888.

(3) Paul Painlevé, Comptes rendus, t. CXII, 1891.

SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 3v>7

transforme une circonférence en une circonférence, et, par conséquent, une ligne droite en une circonférence. Les points d'un demi-plan, dans le plan des 3, correspondront donc aux points d'un cercle dans le plan des Z.

Cherchons à effectuer sur un demi-plan la représentation conforme d'une aire A limitée par deux arcs de cercle. Soient z0 et zK les deux sommets de cette aire, et oltz l'angle des deux tangentes en Zq et zt .

La transformation

\z — Zi

va nous permettre de faire la représentation conforme de l'aire A sur un demi-plan. Nous supposerons, pour simplifier, que z0 et z-i soient réels; z étant à l'intérieur de Taire, nous pouvons prendre pour argument de

L'angle z0zz{ compté de z0 ens, (cet angle sera compris entre o et - quand z sera au-dessus de 0.z, et il sera compris entre - et 273, si z est au-dessous de cette même ligne). On voit de suite qu'à chacun des deux arcs de cercle limitant A correspond dans le plan Z une demi-droite issue de l'origine, puisque l'angle ;0^^i est constant sur chacune de ces deux lignes. De plus, la différence des arguments de (4) sur chacune de ces deux lignes sera égale à l'angle des deux circonférences, c'est-à-dire à octz. Les deux demidroites feront donc entre elles un angle égal à t:, c'est-à-dire qu'elles seront sur le prolongement Tune de l'autre. 11 est alors • vident une l'airé A correspond à l'un des deux demi-plans determinés par cette droite indéfinie.

En particulier, considérons un demi-cercle; on aura a = - et la transformation cherchée sera réalisée par La formule

y / Z—Zp

' ~ \z — z, ( «Onsidérons encore l'aire d'un secteur et cherchons à en faire la

représentation conforme sur un demi-plan. Il suffira d<' transforniei d abord Le secteur en un demi-cercle, ce qui se réalisera par

la formule

si au désigne l'ouverture d'angle du secteur.

9. Faisons maintenant une remarque générale avant d'aborder des cas un peu moins simples. Soit Z,=f(z) une fonction holomorphe à l'intérieur de l'aire limitée par un contour simple (c) sur le plan des s, et supposons que, sur ce contour, la fonction prenne une série de valeurs toutes différentes et formant une suite continue. Au contour (c) correspond alors, dans le plan des Z, un contour simple (C) ne se coupant pas, et tel, par conséquent, que la variation de l'argument de Z — 7J soit nulle ou égale à 2 7T, suivant que le point T! est extérieur ou intérieur à ce contour, lorsque le point Z décrit le contour (G).

Cela posé, soit z un point de l'aire limitée par le contour (c) et rLf =f(z') le point correspondant dans le plan des Z : lorsque le point z décrit le contour (c), le point Z décrit le contour (C). et rargumentdela fonction/(s) — f(z') est, à chaque instant, identique à l'argument de Z — Z'. Par suite, la variation de l'argument de f(z) — f(z') ne peut être égale qu'à zéro ou à 2tc. Or elle est différente de zéro puisque le point z = z' est une racine de la fonction f(z) — f{z') '• donc elle est rigoureusement égale à ir.. On en conclut immédiatement qu'à tout point z' pris à l'intérieur de (c) correspond un point TJ intérieur au contour (C) et un seul, et que, réciproquement, à tout point L intérieur au contour (C) correspond un point z intérieur au contour (c) et un seul.

10. Un exemple intéressant sera fourni par la considération de l'intégrale elliptique

z= r~ dz

J0 v/(I*«)ri- ****)'

k étant réel et compris entre o et 1 , et la détermination initiale du radical étant -+- 1 . Envisageons, dans le plan de la variable 2, le demi-plan situé au-dessus de Ox, et évitons les points critiques

±1, ±: j au moyen de demi-circonférences infiniment petites

décrites au-dessus de Ox. Cherchons, dans ces conditions, quelle va être 1 aire du plan Z correspondant à ce demi-plan : c allant de o à î. en étant réel, Z décrira la droite allant de l'origine au point k:

ensuite, quand z va de i à - -, en ayant évité le point 1 par une demicirconférence située au-dessus de O.r, le point Z décrit la droite allant de K à /K -f- K : enfin, r allant de - à -h oo, Z suit la droite

allant de /K' -f- K à / K . En faisant aller z de o à — oo, on voit de la même manière que Z décrit un contour symétrique du premier par rapport à 0\ (Z= V -f- A ). lien résulte qu'à l'axe des x dans le plan des ; correspond dans le plan Z le périmètre d'un rectangle R de côté 2K et de hauteur K'.

Il nous suffit maintenant de remarquer qu'aux différents points de fax»' réel et au point à l'infini du demi-plan correspondent des valeurs de Z toutes différentes. On peut alors appliquer au problème actuel la remarque du paragraphe précédent, puisque la fonction Z es! holomorphe à l'intérieur du contour simple formé par l axe réel, par les demi-circonférences infiniment petites décrites au-dessus de Ox pour éviter les points critiques, et par une circonférence de rayon infiniment grand. Nous pouvons donc conclure que la formule (5) permet de faire la représentation conlu demi-plan sur le rectangle R.

II. Cherchons encore à représenter d'une manière conforme un triangle sur un demi-plan. Nous parlons à ce! effet de finléile

'< z — h |P '( Z — r)V 1 dz (a h

ii. 6, c désignent tnus constantes réelles, les quantités oc. j. v son! quantités p< sitives telh - que

, < si une constante dans laquelle le coefficient de i est posilif. On considère, dans le plan de la variable z. le demi-plan 9Îtué sui de l'axe des r. L'intégration est faite dans ce dçmi plan. and en intégre le long de l'axe réel, <m évite les points cri

tiques a, 6, c par des demi-circonférences infiniment petites situées au-dessus de Ox.

Dans ces conditions, cherchons quelle est la portion du plan Z correspondant au demi-plan. Quand z varie entre deux des points critiques, soit, par exemple, a et b, suivant l'axe des #, l'intégrale

{z — a)a-i {z — b )M ( z — c)Y-» ate

aura visiblement un argument invariable, c'est-à-dire que le point Z décrira un segment de droite AB, et, z marchant dans le même sens de a à b, le point Z marchera aussi dans le même sens de A en B, puisque la dérivée de Z ne peut s'annuler quand z est compris entre a et b. Ce que nous venons de dire de a à b s'applique à l'intervalle de b à c, auquel correspond BC; mais, quand z décrit un demi-cercle infiniment petit autour de 6, l'argument de (z — b)$ ~{ a diminué de

les deux directions BA et BC font donc un angle égal à ^tt; avec plus de précision, une rotation de [3tc dans le sens négatif amène la direction BA sur la direction BG. Si maintenant z va de c à + 00, Z décrira un segment de droite CC , partant de G et faisant avec lui un angle ytc et CG' est tellement placé que la direction CB coïncide avec CC' par une rotation de yrc dans le sens négatif. Remarquons maintenant que, de quelque manière que z aille à l'infini dans le demi-plan, Z tend toujours vers G'; de plus, en appelant pi' l'affixe de G', on a pour z très grand le développement

conséquence immédiate de la relation a -f- (3 + y = i . L'argument de Z — jjl' augmente donc de — tt quand z passe de -+- oo à — oc, et il en résulte que, z variant de — oo à a, le point Z décrit le segment rectiligne C'A qui est le prolongement de CC. Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante : Le périmètre du triangle ABC correspond à C axe réel du plan z.

Nous n'avons plus maintenant qu'à appliquer la remarque du n° 9 pour en conclure que le demi-plan correspond uniformément

SIR L4 REPRÉSENTATION CONFORME. ^3l

à l'aire du triangle ABC au moyen de la transformation

Z= f (z — ay-i{z — b)$--Hz — cy(-idz.

Nous savons donc faire la représentation conforme sur un demiplan d'un certain triangle dont les angles sont égaux à a-, 3tz et y-. Tout triangle étant semblable à un tel triangle pour des valeurs convenables de oc, (5, -, il en résulte que le problème de la représentation conforme d'un triangle sur un demi-plan est complètement résolu.

12. On peut d'une manière plus générale considérer la transformation

où a, b. .... / sont m constantes réelles; a, (j, ..., A sont des quantités positives telles que

el zQ es! encore une constante dans laquelle le coefficient de i est positif. Quelle sera la portion du plan Z correspondant au demiplan supérieur du plan des s? On verra, comme dans le cas du triangle, qu'à l'axe Ox correspond une ligne polygonale fermée, et les angles, comptés comme précédemment, que font entre eus livers côtés de cette ligne sont respectivement

a-, p-, ..., Xtt.

La ligne polygonale fermée limitera une certaine aire. Celle-ci

essairemenl tonnexe comme celle du demi-plan. C'esl à-dire qu'on pourra passer d un poinl .1 un autre de 1 aire en res

tant à son intérieur; en d'autres termes encore, l'aire limitée par la ligne brisée ne pourra se fractionner en plusieurs autres aires polygonales n'ayant que des sommets communs. Ainsi, pour le cas de ra = 4> on ne pourra avoir la configuration représentée par ABCDA(y^-. 32)

11 est important de remarquer, et c'est ici une différence avec le cas du triangle, qu'à une valeur de Z ne correspond pas d'une manière nécessaire une seule valeur de z ou, en d'autres termes, que la série des valeurs que prend la fonction Z sur l'axe réel et à l'infini ne forme pas nécessairement une suite de valeurs toutes différentes. L'aire polygonale peut, en effet, se recouvrir partiellement elle-même; c'est ce qu'indique la figure 33. L'aire limitée

par la ligne polygonale ABGDEFGH se recouvre partiellement elle-même; on voit bien en effet que la partie ombrée appartient deux fois à l'aire polygonale. A une valeur de Z répondant à un point de cette partie ombrée correspondront deux valeurs de z.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette question de la représentation conforme d'un polygone rectiligne sur un demi-plan. La forme de la fonction à employer pour cette représentation conforme et dont nous venons de faire usage a été obtenue par Schwarz et par Christoffel. Quant à la détermination effective des constantes a, b, ..., / pour un polygone donné, elle n'est pas sans présenter quelques difficultés; nous y reviendrons dans la théorie des équations aux dérivées partielles (*). Nous aurons à

(l) On consultera, sur ce sujet, un Mémoire de M. Schlalili : Zur Théorie der conformen Abbildung {Journal de C relie, t. 78).

étudier aussi plus tard la représentation des aires limitées par des arcs de cercle, qui se rattache à la théorie des équations linéaires du second ordre Y1).

13. Je terminerai ce qui a trait à la représentation conforme en considérant un cas très simple relatif à deux aires limitées par plusieurs contours. Deux aires A et A' limitées chacune par un seul contour peuvent être représentées d'une manière conforme l'une sur l'autre : on peut, en effet, faire la représentation conforme de chacune d'elles sur une circonférence et cet intermédiaire permet de réaliser la transformation cherchée. Des circonstances toutes différentes se présentent pour les aires limitées par plusieurs contours; deux aires A et A', limitées chacune par un même nombre de contours, ne peuvent pas, en général, être représentées d'une manière conforme V une sur V autre. L'étude approfondie de ce nouveau problème a été faite par M. Schottky dans un beau et important Mémoire ('-); cette intéressante question se rattache étroitement à l'étude de la correspondance entre le> points de deux courbes algébriques, et nous nous en occuperons à la lin de ce Volume quand nous aurons tous les éléments nécessaires pour la résoudre.

En ce moment, je ne prends qu'un cas extrêmement particulier, sur lequel nous nous sommes appuyé au Chapitre IV.

Établissons entre le plan des z et le plan des Z la correspondance

c désignant une constante positive. A une valeur de z correspond une seule valeur de X; mais à une valeur <!<• Z correspondent les deux valeurs

Voit -ii questions, le Tomr II «l'-s Mémoires de Schware, <>u l'on

trouvera en cor < beaucoup d'autres exemples de représentation conforme On lira

i dans le Tome I des Leçons <1p Darboui le Chapitre qu'il cous. nie .1 cette

- bottki Conforme Abbildung mehrfach tutammenhàngender ebener wrnal >/• < relie, l.

33/j CHAPITRE X

entre lesquelles existe la relation z1 z" = c2. Considérons le cercle (C) (fig. 33) décrit de l'origine comme centre avec c pour rayon:

Fig. 34.

*tv ■

on peut, en choisissant pour le radical y/Z2 — c2 une détermination convenable, supposer que le point z' est extérieur à la circonférence (C); le points'7 est alors intérieur à cette circonférence, et on l'obtient en prenant l'inverse du symétrique du point z par rapport à l'axe des x relativement à la circonférence (G).

Supposons que le point z décrive dans le plan des z une circonférence de rayon r et de centre O, et cherchons la ligne que le

point Z va décrire dans son plan {fig. 34). On aura, en posant

2(X + t'Y)= /'H : Icoscp -4- i ( /• isincp,

et, par suite, la courbe décrite par le point Z sera l'ellipse

dont les foyers F et F' sont les points -h c et — c dans le plan des Z. Donc à la série des cercles ayant l'origine pour centre dans le pian des z correspond une série d'ellipses homofocales dans le plan des L et inversement. Mais, tandis qu à un cercle dans le plan des z correspond une seule ellipse dans le plan des Z, à une ellipse E dans le plan des Z correspondent deux cercles (C) et (C") dans le plan des j, dont les rayons sont liés par la relation r r" = c2 : 1 un est par conséquent extérieur au cercle (C) et l'autre intérieur. Lorsque le point Z décrit l'ellipse E, les points z et z" décrivent simultanément ces deux cercles en sens inverse, avec des arguments à chaque instant égaux et de signe contraire.

Lorsque r partant de zéro augmente jusqu'à c, l'ellipse E partant de l'infini balaye tout le plan des Zen s'aplatissant et se réduisant pour r=c à la droite double FF'. Si l'on continue ensuite à faire varier r de c à. l'infini, on balaye de nouveau tout le plan des Z en repassant par la même série d'ellipses dont les dimensions vont sans cesse en augmentant. Donc au plan Z tout entier correspond, d'une part la portion du plan des z extérieure à la circonférence G et d'autre part la portion du plan des z intérieure à cette circonférence.

Bornons-nous, pour fixer les idées, à la partie du plan z extérieure à C; nous partirons de la correspondance

Ou suppose tracée dans le plan Z la coupure ( — c, -h c) que Z n< devra |>is franchir; la fonction y/Z- — c2 est alors uniforme et on la suppose positive quand Z est réel et supérieur à c. I>> formule précédente fait correspondre le plan Z, où est tracée la coupure ( — t\ -4-c), à la partie du plan z extérieure àC. En particulier, l'aire comprise entre deux ellipses homofocales de I >\ i ( — c, 4- c) se trouve transformée en une aire limitée par deux circonférences. Il en résulte que le problème de Dirichlet peut être lemenl résolu pour deux ellipses homofocales, puisqu'il se

très simplement pour deux circonférences concentriques. I un d \s ellipses homofocales i»'""' se réduire à la droite joignant les deux foyers; c'est de ce cas particulier que nous avons fait

ii <\|> isant I,i méthode de Poincaré (p. 99).

I i. On peut, du mode de correspondance précédent, déduire, à l'aide du théorème de Laurent, une forme de développement en série pour une fonction de f(z) holomorphe dans l'aire comprise entre deux ellipses homofocales. Il suffira d'énoncer les résultats que le lecteur démontrera sans peine. On aura d'abord de suite le développement

les a étant des constantes. Un cas particulier intéressant est celui où la fonction f (z) est holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers ( — c, -+- c; on peut facilement montrer que l'on a dans ce cas

et l'on trouvera alors le développement

m = oo

Pm(z) désignant le polynôme d'ordre m

Pm (*)= U + s/7^ci)m + (- /srz75)«

£//*e fonction holomorphe, à l'intérieur d une ellipse, se trouve ainsi développée en une série de polynômes. Pour c = o, on retombe sur le développement de Taylor.

15. Nous reviendrons une dernière fois, en terminant ce Chapitre, sur le problème de JDirichlet, qui nous a déjà occupé dans cet Ouvrage, pour indiquer la méthode de Schwarz (*). En fait, une partie de cette méthode a été exposée quand nous avons parlé du procédé alterné (p. 8i); nous allons avoir à en faire usage. Schwarz ramène la solution au problème de la représentation conforme; on sait, en effet, résoudre le problème de Dirichletpour toute aire dont on a fait la représentation conforme sur un cercle.

Nous nous bornerons au cas où le contour serait formé d'arcs

(') Tome II des Œuvres complètes de Schwarz (p. 1 4 f ) -

jrèguliers de lignes analytiques faisant entre eux des angles différents de zéro (' ). Il suffit évidemment de montrer que nous pouvons décomposer l'aire S limitée par ces arcs en un nombre limité d'aires partielles représentables sur le cercle et empiétant les unes sur les autres, car alors le procédé alterné donnera la solution.

Sur un arc régulier de ligne analytique nous pouvons prendre un arc assez petit oc[3 pour qu'une représentation conforme (n° 3 ) transforme oc[3 en segment de droite a'(J' dans le plan de la variable z'. Enjoignant oc' et fi' par un arc de cercle, on aura dans le plan - une aire limitée par la courbe ocjâ et par un certain arc ne la coupant pas sous un angle nul, et l'on pourra manifestement en faire ta représentation conforme sur un cercle. Ceci posé, on pourra fractionner Tare analytique AMB en un certain nombre d'arcs suffisamment petits et tels que deux arcs consécutifs empiètent l'un sur l'autre. On joindra deux à deux les extrémités de ces arcs par des lignes situées dans S et telles qu'elles limitent, avec l'arc correspondant, des aires dont on puisse faire, comme il vient d'être dit, la représentation conforme sur un cercle. L'ensemble de aires formera une nouvelle aire limitée par l'arc AB et un arc APB situe dans S. et, pour cette aire, on saura résoudre le principe de Dirichlet par l'emploi du procède alterné. On peut supposer que ! arc \I'B coupe l'arc AB sous des angles différents de zéro. Nous répéterons la même construction pour tous les côtés du contour. En «harpie sommet S nous placerons le centre d'un secteur circulaire intérieur à S el empiétant sur les deux aires limitrophes pie nous venons de construire. Ceci sera toujours possible, puisque :es aires ont, aux sommets, des angles différents de zéro et que l'angle du routeur en chaque sommet est différent de zéro.

Enfin non- tra< erons une série de cercles tout entiers intérieurs à S ci qui ne soient jamais tangents entre eui ni aux contours ■mes auxiliaires, et en as nul nombre pour que toul point en S

soit intérieur à un de ces cercles ou à Tune des aires auxiliaires. Il suffira évidemment pour cela d'un nombre limité de cercles. I i décomposition de l'aire S en aires partielles empiétant les unes

trouvera dans le Mémpire de Schwarz l'examen d i l'angle

ist nul; certaines hypothi ire relativement à l'ordre de contact

If"- 1 1 r 1 1 \

sur les autres, pour lesquelles on sait résoudre le problème de Dirichlet, est donc effectuée, et la question est dès lors résolue.

16. 11 ne sera pas inutile de rappeler que nous avons en définitive fait connaître dans ce Livre trois méthodes essentiellement distinctes pour la solution du problème de Dirichlet. Ce sont la méthode de Neumann (p. 44) s'appliquant aux contours convexes, celle de Poincaré (p. 89) qui est absolument générale, et enfin celle de Schwarz qui s'est trouvée présentée en deux fois, d'abord (p. 81) et ensuite au paragraphe précédent. On trouvera une quatrième méthode dans le Livre déjà cité de Harnack sur le potentiel logarithmique, mais nous nous contenterons d'y renvoyer le lecteur.

IV. — Représentation conforme sur Paire d'un cercle d'une aire simplement connexe à frontière quelconque.

17. Nous avons toujours supposé, dans les sections précédentes, que l'aire A était limitée par un contour simple formé d'aires analytiques, ou au moins ayant une tangente en chaque point. Nous allons prouver (*) qu'on peut résoudre le même problème pour une aire A simplement connexe dont la frontière pourra être absolument quelconque sauf la condition de comprendre plus d'un point.

Soit A cette aire du plan z, F sa frontière. On peut toujours, au besoin par une transformation préalable, supposer que A est une partie du cercle | z \ S 1 .

En effet, s'il existe un point ^0 extérieur à A, on posera

(') Depuis 1907 des progrès considérables ont été réalisés dans la théorie de la représentation conforme grâce aux travaux de Poincaré et de MM. Kœbe, Hilbert, Garathéodory, Lindelôf. On pourra se reporter à une communication de M. Lindelôf au quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves à Stockholm en 1916 pour la bibliographie. Nous utilisons ici cet excellent exposé intitulé : Sur la représentation conforme d'une aire simplement connexe sur faire d'un cercle.

SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME. 33û,

d étant la plus courte distance de za à F et le domaine que décrira u fera partie de | u. | ^ i .

Si aucun point du plan ^ n'est extérieur à A, soient z{ el z2 deux points de F distincts, posons

et choisissons une branche déterminée de Ç(s) ; cette branche "C(z) es! holomorphe dans A et transforme A en une aire simplement couverte X du plan s ( ' )• ^e Pllls? si îo est la valeur de la branche en un point ^0 intérieur à A, — Ç0 sera certainement extérieur u -In, on retombera donc sur le cas précédent et on passera de A> à une aire simple du plan w, faisant partie de | u \ S i .

Nous supposons donc maintenant que A fait partie du cercle \ z 21 et, sans que cela restreigne la généralité, que A contient

lorigine — car, par une transformation du type Z = — ^ Ç conservant le cercle - 5i> on pourra toujours réaliser cette hypothèse. Nous allons donc chercher une fonction £=f(z) telle que/(o) = o, f'(o) étant réelle et positive, telle que à tout point 3 intérieur à A corresponde un point Ç intérieur à | £ | < i et réciproquement; la fonction v = /(c) étant holomorphe dans A et son inverse ^ — g(^) holomorphe dans |Ç| << 1 (2j.

18. Nous avons besoin, avant d'aborder le problème général, d'étudier une transformation particulière, /étant positif et <i, considérons La fonction 'Ç(z) définie par

pour- laquelle on choisira .m deuxième membre la branche qui

(') Bile <•->! simplement couverte parce que, - élan! fonction rationnelle *!«■ -. \ ne srr.nt certainement pas simplement couverte li -l in l'était pa«.

C ) ' /(*) fera correspondre les directions positives des . • ls dans

les plana z et '. Évidemment , -f(z) e,e (0 arbitraire) fera correspondre à la direction positive de l'axe réel du plan s une direction arbitraire du plan '.

pour

o prend la valeur -(-/*; alors Ç (o) = b). On en tire

avec

/• et - étant inverses par rapport au cercle |#|== i ainsi que \/r

et — on voit que | js | == i entraîne

= r et par suite | Ç

On verra aussi aisément que lorsque z décrit le segment ( r, - ) £ décrit l'arc intérieur à | Ç | << i du cercle décrit sur le segment ( i/r, — ) comme diamètre. Ce dernier cercle divise | Ç|= i

en deux parties dont l'une contient o ; cette partie correspond à l'aire du cercle | z | 5! i armée de la coupure rectiligne (r, -f- i) par la transformation (i). La deuxième branche de Ç définie par (i) décrirait l'autre partie du cercle I z \S ri L'ensemble des deux branches de Ç(z) décrirait le cercle | z | = i une et une seule fois. Il est visible dans (2) que pour tout point | Ç | << 1 on a

et par conséquent

L'égalité | z | = | Z, | ne se réalisant que pour | Ç | = 1 .

Dans le cercle |^| <C J-> K(z) reste holomorphe et lorsque | z | = r, Ç décrit une courbe G, dont nous cherchons la plus courte distance dr à l'origine. Pour cela, considérons dans le plan Ç un

cercle c = c, o2<c<p<i. C'est un cercle du faisceau

JC-

dont p et - sont les points de Poncelet, et ce cercle contient l'origine. Lorsque Ç le décrit, -3 décrit une courbe y et | z | suit les mêmes variations que | Ç | : le minimum 8 de | z | a lieu lorsque Ç est réel et négatif sur le cercle c et pour cette valeur z est réel et négatif : le cercle | z | == S est intérieur à y et il est clair que le minimum de | Ç | sur ce cercle est atteint lorsque z est réel et

négatif. On conclut que si l'on donne à z la valeur — r dans (i) on aura une valeur de Ç dont la valeur absolue donnera la plus courte distance dr cherchée.

On tire de là

dr = ^J ^ — v//'2 hI

Evidemment dr> r; par suite

= //;,/•,= — » >j pour 0<r<i.

La fonction ra(r) tend vers l'infini si r tend vers zéro; on a donc

— = m(r)>H- fx(r') pour r^r'<I,

u ( r ) étant une quantité positive.

Il y a presque rien à changer à ces considérations si l'on prend cette fois

Z\ — sj r e(9

il n'y a qu'à faire tourner dans les plans z et zK les deux figures de L'angle (— cp) autour de o pour être ramené au cas précédent. Lorsque z décrit | z | = r, z{ décrira une courbe Gr dont la plus courte distance à o sera donnée par les évaluations précé-

«li'IÎ \r>.

19. Venons maintenant au problème posé. Soit re*f le point de F (frontière de A) le plus voisin de l'origine («), et s'il y en ;» plusieurs, celui «loin l'argumeni cp est minimum. Par la transformation

on définit dans A une branche de fonction holomorphe zt f{(z)

(') Noua excluons ici le cas évident où l'aire A serait identique iu cei I

USllé . alors /( z )

pour laquelle J\ (o) = o

à A correspondra une aire A, du plan zt intérieure à |^/|£i et

qui sera simplement couverte puisque A l'est. A contient | z | = /',

donc A, contiendra la courbe appelée G, au n° 18. Par suite la

frontière F{ de A{ est à une distance rir de o supérieure ou égale

à dr :

i\ d vin \r\.

[F \ appartient d'ailleurs au cercle \z\ |5 ij. On a aussi, en vertu de (2'), \f{ (z) \^> \ z \ pour tout point z intérieur à A.

Faisons de même pour A, ; soit r{e'^1 le point de F, le plus voisin de o et posons

On transformera d'une manière conforme Faire A, du plan z { en une aire A2 du plan ^2, simplement couverte, intérieure à | z2 ] = 1 et pour laquelle la frontière F2 sera à une distance r2 de o satisfaisant aussi à

z2(z{) est holomorphe dans A, ; z2(o) = o et

= r"f Ai +4=)>

/ dzt

\dZiJo" l\V ' l ' y/^

De plus | z2 | >-| Z\ | dans A4 ; on continue indéfiniment l'application de ce procédé et on a une suite d'aires Af, A2, . . . , Aw renfermant toute l'origine et dont les frontières Fn F2, . . . , Fn sont à des distances à o telles que

1 =r»i;/v-im(Tç i).

Les rn vont en croissant; ils tendent vers une limite r' et l'on a nécessairement r'=i. Car si r' < 1 on aurait, d'après (3).

r»^rn-1[i"4-'j*(r')] et par suite

rn^r[i-±-tx(r')]n, où jx(r') > o,

et le deuxième membre tendrait vers l'infini avec /*, tandis que le premier tendrait vers r.

La frontière ¥n de V aire A„ tend donc uniformément vers la circonférence du cercle unité lorsque n tend vers /'oo.

20. La représentation conforme qui fait passer de z à zt, zt =J\ (z) est algébrique, et z est une fonction rationnelle de zt. De même 32 <'sl fonction algébrique de c,, holomorphe dans A,. zn est fonction algébrique de zn i1 holomorphe dans A,,.,, ;n, étant fonction rationnelle de zn. Donc zn est fonction al brique de 3, holomorphe dans A et z est fonction rationnelle de zn. La fonction zn =fn(z), holomorphe dans A, transforme A en A„. On a /„ (o) = oet

fit \ — (dZn\ = ( dZn dz"-i (/zi\ J,l{~0) ~ \ dz )o~~ \dzn-i' dz,^2' ' dz J „*

ri" ■

Comme toutes les valeurs des dérivées ,*1 prises pour zi{ = o sont réelles et >i, ainsi qu'on l'a vu plus haut sur f[(o) et sur ( -~ J y il s'ensuit que

f'n(o) est réel et > i quel que soit /i.

Enfin nous avons vu que pour tout point z intérieur à A on a conséquence de (2 bis)\z\ <C\zl\<i\z2\<C--<C\zn\<Z--<Zi , Or. a donc une suite de fonctions fn{z) holomorphes dans A sah - t aux condil ions

fn(o) sa o, et z = o est le seul zéro de fn dans A, frn(o) réel et > 1, f 1*1 |/t(*)| :|/.(*)| ■••<\fn{z)\<... - I <«a"s \

Montrons qu'elle converge uniformément dans toute aire intè ire à V, vers une fonction /*( 5), holomorphe dans Y ^/ qui donne In représentation conforme de \ swr A/ cercle 1.

^21. On peu! utiliser l>i<n des procédés pour prouver la converjen e des J l tiiisons i< i Le théorème «!<• Harnack démo

au a° 6 du Chapitre II dans le présent volume en considérant ta

suite de fonctions harmoniques

un = log

Ces fonctions harmoniques sont régulières dans A, car fn(z) n'est nul qu'en o et pour ; = o on a

D'ailleurs

Donc les un sont dans A partout régulières et positives.. En o elles prennent les valeurs un{o) === log/^ (o) ]> o. Et d'ailleurs à cause de

/'»(o)=(ér)./":'(o)' |juisque (&).>'•

on a

Les/^(o) et, par suite, les un(o) vont en croissant avec n. Lorsque c décrit le cercle \z\ = r intérieur à A, on a \fn(z)\<^i. Donc

on a — — - << - sur ce cercle et a fortiori en o, point intérieur

au cercle. Quel que soit n on a donc

La suite des f'n ( o ) croissante et bornée a une limite pour «=oo. La suite croissante des un, harmoniques et positives, convergeant en o vers limy^o), convergera, uniformément dans toute

aire intérieure à A, vers une fonction harmonique u positive en o

et dans tout A.

f (z) La suite des fonctions vn — arg*7 > conjuguées des u,n et

telles que vn(o) = o sera aussi une série convergente, cela résulte aussitôt de l'expression

où z = x -+- iy.

La suite des un convergeant uniformément dans toute aire A' intérieure à A, vers une fonction u, harmonique dans A, Pinte-

SUR LA REPRESENTATION CONFORME. J-p

grale de Poisson prouve aussitôt que les suites — - et -j— con-

âu du vergent vers -r— et — • ° ax ay

On a en effet dans un cercle C de centre O, de rayon R entourant le point z(x. y) et intérieur à A.