CHAPITRE VII

t;{>al au produit du conséquent par le rapport. On a donc,

fifitètcdent =: conséquent X rapport,

'2^ antécédent = a« conséquent X rapport.

Si l’on substitue ces expressions des antécédens, la proportion ci-dessus deviendra

conséq X i*r rtippnrt ; i®' conseq. î a' cnnséq. X a' rcipp. ; i* consrq. '

On voit dans cette dernière proportion, que les trois facteurs qui entrent dans le produit des extrêmes sont les deux consêqueus et le i'' rapport, tandis que les trois facteurs qui entrent dans le produit des moyens sont les deux mêmes conse'quens set le 2* rapport; et comme le produit de trois facteurs ne change pas, dans quelque ordre qu’on effectue les multiplications (n“ 12) , il suit de là que '

(i).., le produit des extrêmes le produit des conséquens x rapport f (a),., le produit des moyens =■ le produit des conséquens x a® rapport.

Ces deux e'galilés conduisent aux propriétés suivantes :

1°. Dans toute proportion , le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

En effet, puisqu’il y a proportion, le i" rapport est égal au a' ; les trois facteurs qui entrent dans l’expression (i) du produit des extrêmes sont donc respectivement égaux aux trois facteurs qui entrent dans l’expression (a) du produit des moyens; ces deux produits sont donc égaux.

lorsque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, la proportion est exacte ; car, dans ce cas , l’expression (i) du produit des extrêmes devant être égale à l’expression (2) du produit des inoyeus , le produit des deux cotiséquens multiplié jtar le i*’ rapport doit être égal au produit des deux mêmes conséquens multiplié par le 2' rapport ; le r"' rapport est donc nécessairement égal an 2' ; ces deux rapports forment donc une proportion.

3“. Lorsqu' une proportion nest pas exacte, le produit des extrêmes idest pas égal à celui des moyens ; car, dans ce cas , le i'' rapport n’étant pas égal au 2', le produit des deux con-

i5o NOTKÜ,

séquens multiplié parle i" rapport, n’est pas au produit des deux inèiiies conse'qucns multiplié par le 2' rapport j l’expression (i) du produit des extrêmes n’est donc pas égale à l’expression (2) du produit des moyens ; ces produits ne s^bnt donc pas égaux. .

4*. Quand le produit des extrêmes n'est pas égal nu produit des moyens, la proportion n'est pas exacte } car, dans ce cas, l’expression (i) du produit des extrêmes ne devant pas être égale à l’expression (2) du produit des moyens, le produit des deux coDséquens multiplié parle i" rapport, n’est pas égal au produit des mêmes conséquens multiplié par le 2' rapport; le 1" rapport n’est donc pas égal au a* ; ces rapports ne forment donc pas une proportion.

129. Le quatrième terme d'une proportion est égal au produit des moyens divisé par le premier terme, car le produit des moyens est égal au 4“ terme multiplié par le i" terme.

On démontrerait de même que chaque moyen s’obtient en divisant le produit des extrêmes par l’autre moyen.

Remarque. D’après ces propriétés, lorsqu’on connaîtra trois termes (Tune proportion, il sera toujours facile d'en déduire le terme inconnu.

Par exemple, la proportion

: 8 “ 21 : a: ('*') donne x= — = 24»

et la proportion •