ou

131. On peut faire subir à une proportion toutes les transformations qui n’ allèrent pas l'égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens. {n° 128, 2 ”).

Par exemple , la proportion 6 t 2 24 : '8 , donnant

6 X 8=2X 24, les nombres 6, 2, 24, 8^, fournissent les huit proportions

t'* Remarque. Les quatre premières proportions démontrent que si quatre nombres sont en proportion , ils le seront encore lorsqu'on transposera les moyens ou les extrêmes.

2 ' Remarque. Les quatre autres proportions font voir qu’une proportion n'est pas troublée , quand on met les extrêmes à la place des moyens et les moyens. à la place des extrêmes.

3 ' Remarque. La proportion 6 : 2 ” 24 1 8, donnant 2 ; 8 6 ; 24 , il eu résulte que dans toute proportion, le rap-

port du i" conséquent au 2' conséquent est égal nu rapport du i” antécédent au 2' antécédent. ^

132 . On peut multiplier ou divisé^un extrême et un moyen par un même nombre, sans que la proportion cesse d'exister, car cette propriété a lieu quajid l’extrême et !è moyen sont les deux termes d’un même rapport (n“ 120), et on peut toujours satisfaire à cette dernière'condition, en clianjîeant convenablement l’ordre des termes de la proportion primitive.

Remarque. Cette propriété fournit le moyen de faire disparaître les termes fractionnaires qui peuvent entrer dans une proportion, et de simplifier les termes d’une jiroportion lorsqu'on aperçoit un facteur commun entre un extrême et un moyen.

Exemi’le. Son la proportion ^ -rr \

i52 notes, ^

On réduit les deux premières fractions à leur plus petit déuoininateur commun 12 , et les deux autres à leur plus petit dénominateur commun 112 ; la proportion devient

On multiplie les deux ternies du 1 ” rapport par 12, et ceux du 2 * rapport par 112 , ce qui revient à supprimer les dénominateurs 12 , 112 ; on obtient de cette manière la proportion,

i4« ; i5 :: 4ao r 45, qui se re'duit à i4li5;;4a:45>

en divisant les antécéilens i4o, par leur facteur commun 10 .

155. Quand deux proportions ont un rapport commun, tes deux autres rapports forment une proportion ; car ces deux autres rapports étant é;;aux au rapport commun, sont éjjaux entre eux.

154. Lorsque deux proportions ont les mêmes antécédens ou les mêmes conséqucns , les quatre autres termes forment une proportion. Cette propriété se. déduit de la précédente, en transposant les moyens ou les extrêmes.

155. 'Foute proportion jouit encore des propriétés suivantes:

i“. Le i" antécédent plus ou moins un certain nombre de

fois son conséquent , est à ce conséquent , comme le 2 ' antécédent plus ou moins le même nombre de fois son conséquent , est à ce conséquent. En effet, le rapport d’un antécédent à son con- " séquent exprima'nt le nombre de fois que l’antécédent contient le conséquent, si l’on augmente ou si l’on diminue chaque antécédent du même nombre de fois sou conséquent , chaque rapport augmentera ou diminuera de l’unité prise ce même nombre de fois; et comme les deux premiers rapports étaient égaux , les deux nouveaux rapports seront égaux ; ce qui démontre le principe énoncé.

2 “. Le i'’ antécédent plus ou moins un certain nombre de fois son conséquent , est au 2 ' antécédent plus ou moins le même nombre de fois son conséquent, comme le conséquent