CHAPITRE VII. i

est au 2' conséquent, et comme le premier antécédent est au 2' antécédent. Pour démontrer ce principe, il suffit de changer d’abord l’ordre des moyens dans la proportion énoncée (1°) , et d’observer ensuite que dans la proportion primitive, le rapport du 1" conséquent au 2' conséquent est le même que celui du 1" antécédent au 2' antécédent ( 3 ' Remarque du n° 151 ).

3 °. Le i'’ antécédent plus un certain nombre de fois son conséquent , est au 2' antécédent plus le même nombre de fois son conséquent, comme le 1" antécédent moins un nombre quelconque de fois son conséquent, est au 2' antécédent moins le même nombre de fois son conséquent. Cette propriété n’est qu’une conséquence de (2°) et du principe du n“ 135 .

4 °. Le 1" antécédent plus ou moins un certain nombre de fois le 2' antécédent , est au i*’ conséquent plus ou moins le même nombre de fois le 2' conséquent , comme chaque antécédent est à son conséquente Pour démontrer cette propriété, il suffit de changer l’ordre des moyens dans la proportion donnée, et d’appliquer ensuite à cette nouvelle proportion le principe énoncé (2“).

5 “. Le \ ” antécédent plus un certain nombre de fois le 2' antécédent, est au i" conséquent plus le même nombre de fois le 2' conséquent , comme, le 1” antécédent moins un nombre quelconque de fois le 2' antécédent , est au i conséquent moins le même nombre de fois le 7.’ conséquent. Cette propriété résulte de ( 4 ") et du principe du n° 133 .

Les principes généraux que l’on vient d’établir (1®, 2°, 3 ®, 4 ®, et 5 °) conduisent aux propriétés suivantes, qui n’en sont que des cas particuliers. Dans toute proportion :

6 ®. Le i" antécédent plus ou moins son conséquent , est à ce conséquent , comme le 2' antécédent plus ou moins son conséquent, est à ce conséquent (i®).

■J®. Le y” antécédent plus ou moins son conséquent, est au 2' antécédent plus ou moins son conséquent, comme le 1" conséquent est au 2' conséquent , et comme le 1 antécédent est au 2* antécédent (2°).

8 ®. La .somme des deux premiers termes, est a la somme des

i54 NOTES,

deux autres , eomme la différence des deux premiers termes , est à la différenee des deux autres (3°).

g®. La somme ou la différence des antécédens, est à la somme ou à Iff différence des conséquens , comme chaque antécédent est à son conséquent (4“).

I o“. La somme des antécédens , est à la somme des. conséquens, comme la différence des antécédens , est à la différence des conséquens ( 5 °).

156. Les proportions jouissent de plusieurs autres propriétés, qui seraient trop longues à énoncer, mais que l’on peut facilement déduire de ce qui précède. D’ailleurs, les principes du n“ 128 fournissent le moyen de reconnaître si une proportion jouit d’une propriété indiquée j à cet effet , on pose d’aliord la proportion qui résulte de la propriété indiquée; on forme ensuite le produit des extrêmes et celui des moyens ; lorsque ces produits sont égaux , la propriété énoncée est vraie (n“ 120, 2“) ; quand ces produits' ne sont pas égaux, la propriété indiquée est fausse (n° 128, 4”)-

157. Lorsqu’on multiplie les termes de plusieurs proportions les uns parles autres et par ordre , les quatre produits forment une proportion. En effet, les proportions

3 5 SI

exprimant que les rapports g, — , sont respectivement

égaux aux rapports g, le produit g— - ^ des trois

premiers rapports doit etreegal au produit des trois

autres; ce qui conduit à la proportion

On en déduit <|ue les puissances semblables de quatre nombres en proportion forment une nouvelle proportion, et que par suite, les racines semblables de quatre quantités qui sont en proportion, forment aussi une nouvelle proportion.

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