CHAPITRE \ III
de ce nombre décinial, pour que le résultat contienne autant de zéro entre la virgule et le premier chiffre décimal significatif, qu’il y a d’unités dans la caractéristique du logarithme donné.
Ainsi, pour trouver à quels nombres appartiennent les logarithmes — 0,66559, — 1, 6655 g, et — 3 , 6655 g, on retranche 6655 g de 100000, le reste est 3344 * ; et 3 , 3344 » étant le logarithme de 2i5g,8, les nombres demandés sont
o,2i5g8, o,o2i5g8, et o,uoo2i5g8.
3 ' Cas. En£n , quand la caractéristique seule est négative , on conçoit que le logarithme est affecté de la caractéristique 3 ; on cherche à quel nombre appartient ce nouveau logarithme, et on avance la virgule vers la gauche de ce nombre, de manière que le résultat renferme autant de zéro moins un , entre la virgule et le premier chiffre décimal significatif, qu’il y a d’unités dans la caractéristique négative.
Ainsi, pour trouver à quels nmnbres appartiennent les
logarithmes i, 3344 >> 2 , 3344 >> 3 , 3344 ' > "I 4 | 3344 ',
on cherche le nombre 21 5 g , 8 auquel correspond le logarihme 3,3344» » les nombres demandés sont
o,2i5g8, o,02i5g8, o,oo2i5g8, o,ooo2i5g8.
165 . Les exemples précédons suffisent pouç mettre en état de calculer le logarithme d’un nombre donné, et de trouver à quel nombre appartient un logarithme proposé. Nous avons toujours ramené la question à opérer sur les logarithmes des nombres compris entre 1000 et 10000, parce que cette méthode a l’avantage de fournir le plus grand degré d’exactitude dont notre Table de logarithmes est susceptible. En opérant de cette manière :
i“. Quand on veut trouver le logarithme d'un nombre, la proportion indiquée ( n“ 160 ) , ne fournit que les cent millièmes d’ unité du logarithme demandé.
2®. Nos logarithmes tabulaires n’ayant que cinq décimales , l'erreur qui en résulte est telle que, si Von veut trouver le
i-jS NÛTKS,
nombre auquel appui lient un logarithme donné dont la carac~ téristique est 3 , on ne devra généralement compter que sur l’exactitude des quatre premiers chiffres à gauche du nombre demandé , c’est-à-dire sur les quatre chiffres qui sont dans la table i de sorte que dans certains cas , la proportion indiquée ( n“ 168 ) ne fournil aucun des chiffres décimaux du nombre auquel appartient le logarithme donné.
En effet, la plus petite différence entre deux logaritliines tabulaires consécutifs étant o,oooo4« on voit que o, 00004 d’erreur sur un logarillinic , suffisent pour produire environ une unité d’erreur sur le nombre correspondant à ce logaritbiue; 0,00001 d’erreur sur le logarithme peut donc introduire environ ou 0,25 d’erreur sur le nombre correspondant. Or, les cinq premières décimales du logarithme étant données, ou ne connaît ce logarithme qu’à moins de 0,00001 d’unité; l’erreur qui existe dans le nombre auquel appartient cette valeur approchée du logarithme, peut donc être de près de 0,25; elle influe donc quelquefois sur les dixièmes d’uniié du nombre cherché.
§ 3. Des complémens arithmétiques.
164. Le COMPLÉMENT ARiTHMÉTiQDE d'un logarithme, s’obtient en retranchant ce logarithme de 10; ce qui revient à ôter d’abord de 10 le premier chiffre significatif à droite du logarithme, et à retrancher de 9 tous les autres chiffres.
Ainsi, les logarithmes des nombres 2, 602, 1256, étant
o,3oio3, 2,')i^g6o et 3,09699,
les complémens de ces logarithmes sont
9,69897, 7,22040 et 6,90101.
165. Lorsqu’au lieu de soustraire un logarithme, on ajoute son complément, le résultat est trop grand de 1 o unités, car ce résultat est trop fort du logarithme qu’on devait soustraire , plus du complément qu’on a ajouté , et d’après la définition, la
CHAIMTRK Vin.
soiiiinc de ces deux nombres csl lo. Ce |>riiiei|ic (onduii aux trois propriétés suivantes :
1 °. fin ajoulant au logarithme du numérateur d’une fraction le complément du logarithme du dénominateur, la somme exprime le logarithme de cette fraction augmenté de i o ;
2“. Le logarithme du quatrième terme d’une proportion peut s’obtenir en ajoutant à la somme des logarithmes des moyens le complément du logarithme du premier terme , et en diminuant le résultat de dix unités ;
3“. Lorsqu un calcul conduit à combiner plusieurs logarithmes positifs, par voie d’addition et de soustraction, on simplific l’opération en ajoutant aux logarithmes qui doivent être additionnés , les complémens des logarithmes à soustraire ; la somme étant trop forte d'autant de fois i o , qu'on a pris de complémens (n“ 168 ) , il suffit, pour en déduire le résultat demandé, de diminuer celte somme d’autant de dixaincs qu’on a ajouté de complémens.
§ 4 ' des logarithmes pour abréger les calculs.
166 . Il suit des propriétés des lop,aritlinies , <[ue lorsqu’on n’a besoin que d’une valeur approchée du n'iultat d’une opération , l’emploi des logarithmes tabulaires peut souvent simplifier les calculs en réduisant les multiplications , les divisions, la formation des puissances et l’extraction des racines , à des additions , à des soustractions , à des multiplications et à des divisions très simples. En voici des exemples :
I " Exemple. Soit proposé de calculer le produit x de 3,451 1789 ?, par 1 ,33456789.
Les logarithmes des deux facteurs sont 0,53867 et 0,09152 ; leur somme est 0,63019. nombre 412677, auquel appartient le logarithme 0,63019 , est une valeur approchée de x.
La valeur exacte de x étant 412676409^8818788, on voit (|ue l’emploi des logarithmes n’a fourni que les quatre premiers chiffres à gauche du produit demandé.
2' Exemple. Déterminer le quotient .v de la division de 4,267640948818788 par 3, (567892.
i8ü NOTES,
r‘ Mkthuoe. On cLei'che leslogariihines du dividende et du diviseur, qui sont o, 63 oi 8 et 0,53867 > retranche le second loj'aritlune du premier, le reste OgOgiSi exprime Ix. Le nombre i ,'2345 auquel appartient ce dernier logarithme est une valeur a|iprochce de x. Le quotient exact est 1,23456789.
2' Méthode. On ajoute au logarithme o, 63 oi 8 du dividende, le complément arithmétique 9,46i33 du logarithme du diviseur; la somme 10,09151 étant égale à Ix augmenté de 10, on a ix = o,09i5i; d'où a: =1,2346.
3 ® Exemple. Calculer la valeur x de ^ 128.
On a
o, 3 oio 3 .
On en déduit x=2. Cette valeur de x est exacte, car il est facile de s’assurer que 2’ = 1 28.
4 ® Exemple. Calculer la racine cubique x de
0=. d'où
On retranche 77899 de /a, le reste est — 3 , 59654 ', on divise ce reste par 3 , le quotient — 1,19884 exprime Ix. On en déduit x = 0,06326 etc.
5 ' Exemple. Calculer la racine cubique x de la quatrième puùsance de
On a x=e)jQ^ -, d’où = (n® 1 « 5 ).
i®® MiTHODE. Onôte 1^5 de li ; on multiplie le reste —i ,09691 par 4 , et on divise le produit — par 3 ; le quotient — 1,462546 etc., exprime Ix. On en déduit x=o,o 3447 2* Méthode. On ajoute à h le complément de h 5 ; la
somme étant le logarithme de augmenté de 10, son qua-
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