la . la
il est évident que la somme des extrêmes serait égale à celle des moyens.
Or , toute propoi*tion arithmétique peut être ramenée «i^et état (175) , en ajoutant à chaque antécédent, ou en ôtant la différence qui règne dans la proportion. Cette addition qui augmentera également la somme des extrêmes et celle des moyens , ne peut l'ien changer à l’égalité de ces deux sommes ; ainsi , si elles deviennent égales par cette addition , c’est qu’elles étaient égales sans cette même addition. Le raisonnement est le même pour le cas de la soustraction.
177. Puisque dans la proportion continue les deux teimes moyens sont égaux , il suit de ce qu’on vient de démontrer , que dans cette même proportion , la somme des extrêmes est double du terme moyen , ou que le terme moyen est la moitié de la somme des extrêmes. Ainsi, pour avoir un moyen arithmétique.entre 7 et i 5 , par exemple, j’ajoute 7 à i 5 , et prenant la moitié de la somme aa , j’ai 1 1 pour le terme moyen ; en sorte que T 7 . 1 1 . i 5 .
Propriétés des Proportions géométriques.
178. La propriété fondamentale de la pi-oportion géométrique est que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens ; par exemple , dans cette proportion 3 : i 5 : : 7 : 35 , le produit de 35 par 3 , et celui de i 5 par 7, sont également io 5 .
Voici comment on peut se convaincre que cette propriété a lieu dans toute proportion géométrique.
Si les antécédens étaient égaux à leurs conséquens , comme dans cette proportion :
il est évident que le produit des extrêmes serait égal au produit des moyens.
Mais on peut toujours ramener une proportion à cet état (175) , en multipliant les deux conséquens par la raison. Cette
DE MATHÉMATIQUES. io 5
Par un semblable raisonnement , on voit qu’on peut trouver tout autre terme de la proportion, lorsqu’on en connaît trois. Si le terme qu’on veut trouver est un des extrêmes , il faudra multiplier les deux moyens , et diviser par l’extrême connu : si, au contraire, on veut trouver un des moyens, il faudra multiplier les deux extrêmes « et diviser par le terme moyen connu.
180. Cette propriété de l’égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens ne peut appartenir ((u’à quatre quantités en proportion géométrique. En effet, si l’on avait quatre quantités qui ne fussent point en proportion géométrique , en multipliant les conséquens par le rapport des deux premiers , il n’y aurait que le premier antécédent qui deviendrait égal à son conséquent. Par exemple , si l’on avait 3 , 12, 5 , 10, en multipliant les conséquens 12 et 10 par la raison y des deux premiers termes 3 et
12, on aurait 3 , 3 ,‘l dans lesquels il est évident que le produit
des extrêmes ne peut être égal à celui des moyens ; donc ces produits ne pourraient pas être égaux non plus y quand même
ou n’aurait pas multiplié les conséquens par la raison Il est
visible que ce raisonnement peut s’appliquer à tous les cas.
Donc, si quatre quantités sont telles que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, ces quatre quantités sont en proportion.
De là nous conclurons cette seconde propriété des proportions.
181 . iS’i quatre quantités sont en proportion , elles y seront encore si l’on met les extrêmes à la place des moyens , et les moyens à la place des extrêmes.
182. La même cliose aura lieu, c’est-à-dire que la proportion subsistera si l’on échange les places des extrêmes ou celles des moyens.
En effet , dans tous les cas , il est aisé de voir que ce produit des extrêmes sera toujours égal à celui des moyens.
io6 COURS
Ainsi la proportion 3:8:: la : 3a peut fournir toutes les pro portions suivantes par la seule permutation de ses termes.
3 : 8 : : 13 : 3a ; 3 : 13 ; : 8 : 3s ; 3a : 13 : : 8 : 3 ; 3a : 8 : : 13 : 3; 8 : 3 : ; 3a : 13; 8 ; 3a : : 3 : 13 ; la : 3 : : 3a : 8; la : 3a : : 3:8
Et il en est de même de foute autre proportion.
183. Puisqu’on peut mettre le troisième terme à la place du second, et réciproquement, on doit en conclure qu’on peut , sans troubler une proportion , multiplier ou diviser les deux antécédens par un même nombre , et qu’il en est de même à l’égard des conséquens ; car, en faisant cette permutation, les deux antécédens de la proportion donnée formeront le premier rapport , et les deux conséquens le second. Ainsi multiplier les deux antécédens de la première proportion , revient alors à multiplier les deux termes d’un rapport chacun par un même nombre , ce qui (170) ne change point ce rapport. Par exemple, si j’ai la proportion 3 •.<] la : a8 , je puis, en divisant les deux antécédens par 3, dire i : 7 : : 4 : 28, parce que de la proportion 3 : 7 : : 12 : 28 on peut {182) conclure 3 : 12 : : 7 : 28, et en divisant les deux termes du premier rapport ^r 3, i : 4 ! ' 7 = 28 , qui (182) peut être changée en i : 7 : : 4 ; 28.
184. Tout changement fait dans une proportion, de manière que la somme de l’antécédent et du conséquent , ou leur différence , soit comparée à l’antécédent ou au conséquent , de la même manière dans chaque rapport , formera toujours une proportion.
Par exemple , si l’on a la proportion 12 : 3 : : 32 : 8 ,
on en pourra conclure les proportions suivantes :
1 2 plus 3 ! 3 : : 32 plus 8 : 8 ,
ou 12 moins 3 : 3 32 moins 8 : 8,
ou 1 2 plus 3 ; 1 2 : : 32 plus 8:32,
ou 12 moins 3 : 12 : : 32 moins 8 : 3a,
Car SI c’est au conséquent que l’on compare , il est facile de
voir que l’antécédent augmenté ou diminué du conséquent ( ontiendra ce conséquent une fois de plus ou une fois de moins qu’auparavant ; et comme cette comparaison se fait de la même manière pour le second rapport , qui , par la nature de la pro* portion , est égal au premier , il s’ensuit nécessairement que les deux nouveaux rapports seront aussi égaux entre eux.
Si c’est à l’antécédent que l’on compare , le même raisonnement aura encore lieu , en concevant que dans la proportion sur laquelle on fait ce changement , on ait mis l’antécédent de chaque rapport à la place de son conséquent , et le conséquent à la place de l’antécédent ; ce qui est permis (181).
i85. Puisqu’en mettant le troisième teiine d’une proportion à la place du second , et réciproquement , il y a encore proportion (182), on doit conclure que les deux antécédeiis se contiennent l’un l’autre autant de fois que les conséquens se contiennent aussi l’un l’autre.
Donc , la somme des deux antécèdcns de toute proportion contient la somme des deux conséquens , ou est contenue en elle autant qu’un des antécédens contient son conséquent , ou est contenu en lui.
Par exemple , dans la proportion
1 2 plus 32 ; 3 plus 8 : : 32 : 8 , ce qui est évident.
Mais , pour s’en convaincre généralement , il n’y a qu’à faire attention que si le premier antécédent contient le second quatre fois, par exemple, la somme des deux antécédens contiendra le second cinq fois ; et , par la même raison , la somme des conséquens contiendra le second conséquent cinq fois ; donc la somme des antécédens contiendra celle des conséquens , comme le quintuple d’un des antécédens contient le quintuple de son conséquent ; c’est-à-dire ( 1 70) , comme un des antécédens contient son conséquent.
On prouverait de même que la différence des antécédens est à la différence des conséquens, comme un antécédent est à son conséquent.
^o8 COIRS
186. 11 est évident que la proposition qu’on vient de démontrer revient à celle-ci, si l’on a deux rapports égaux, par exemple celui
lie 4 ‘
et celui de 7:21
Il : 33
On aura encore le même rapport , en ajoutant antécédent antécédent , et conséquent à conséquent.
Donc , si l’on a plusieurs rapports égaux , la somme de tou les antécédens est à la somme de tous les conséquens , comme l’un des antécédens est à son conséquent. Par exemple , si on a les rapports égaux 4 : 12 : : 7 : 21 1 1 2 : 6 , on peut dire que 4 plus 7 plus 2 sont à 12 plus 21 plus 6 , comme 4 est à 12 , ou comme 7 est à 2 1 , etc.
Car , après avoir ajouté entre eux les antécédens des deux premiers rapports , et leur conséquens aussi entre eux , le nouveau rapport qui. selon ce qu’oii vient de voir, sera le même que chacun des deux premiers , sera aussi le même que le troisième : par conséquent , on pourra l’ajouter de même avec celuici, et il en résultera encore le même rapport , et ainsi de suite.
187. On appelle rapport composé celui qui résulte de deux ou d’un plus grand nombre de rapports dont on multiplie les antécédens entre eux , et les conséquens entre eux. Par exemple, si l’on aies deux rapports 12 : 4 et 25 :-5 , le produit des antécédens 12 et 25 sera 3 oo, celui des conséquens 4 et 5 sera 20; le rapport de 3 oo à 20 est ce qu’on appelle rapport composé des rapports de 1 2 à 4 . et de 25 à 5 .
188. Ce rapport est le même que si l’on avait évalué séparément chacun des rapports composans , et qu’on eût multiplie c.ntre eux les nombres qui expriment ces rapports. En effet , le
apport de 12 à 4 est 3 « celui de 25 à 5 est 5 ; or , 3 fois 5 font 1 5 , qui est le rapport de 3 oo à 20 ; et l’on peut voir que cela e.st général, en fusant attention que le rapport est mesuré (168) par une fraction qui a l’antécédent pour numérateur, et leconséquent pour dénominateur ; ainsi le rapport composé doit être
une fraction qui ait pour numérateur le produit des deux antécédens , et pour dénominateur le produit des deux conséquens ; c’est donc (106) le produit des deux fractions qui expriment les rapports composans.
189. Si les rapports que l’on multiplie sont égaux, le rapport composé est dit rapport doublé , si l’on n’a multiplié que deux rapports ; rapport triplé, si l’on en a multiplié trois ; quadruplé , si l’on en a multiplié quatre , et ainsi de suite. Par exemple , si l’on multiplie le rapport de a à 3 par celui de 4 ^ 6 qui lui est égal, on aura le rapport composé 8 : 18 qui sera dit rapport doublé du rapport de 2 à 3 , ou de 4 ^ 6-
190. Si Von a deux proportions , et quon les multiplie par ordre, c’est-à-dire , le premier terme de l’une parle premier terme de l’autre, le second parle second, et ainsi de suite , les quatre produits qui en résulteront seront en proportion.
Car, en multipliant ainsi deux proportions, c’est multiplier deux rapports égaux par deux rapports égaux (172) ; donc les deux rapports composés qui en résultent doivent être égaux ; donc les quatre produits doivent être en proportion (172).
19 1 . Concluons de là que les carrés , les cubes , et en général les puissances semblables de quatre quantités en proportion, sont aussi en proportion , puisque , pour former ces puissances , il ne faut que multiplier la proportion par elle-même plusieurs fois de suite.
1 92. Les racines carrées , cubiques , et en général les racines semblables de quatre quantités en proportion sont aussi en proportion ,• car le rapport des racines carrées des deux premiers termes n’est autre chose que la racine carrée du rapport de ces deux termes (142 et 167) ; et il en est de même du rapport des racines carrées des deux derniers termes j donc puisque les deux rapports piimitifs sont supposés égaux , leurs racines carrées sont égaies ; donc le rapport des racines caiTées des deux premiers termes sera égal au rapport des racines carrées des deux derniers. On prouvera de même pour les racines cubiques , quatrièmes , etc.
IIO
COURS
Usage des Propositions précédentes.
ig 3 . Les pi'opositions que nous venons de démontrer, et qti’on appelle les Réglés des proportions , ont des applications continuelles dans toutes les parties des Mathématiques. Nous nous bornerons ici à celles qui appartiennent l’Arithmétique , et nous commencerons par celles qu’on peut faire de ce qui a été établi (179), et qui est la base de pr.esque toutes les autres.
De la Règle de Trois directe et simple.
194. On distingue plusieurs sortes de règles de Trois : elles ont toutes pour objet de faire connaître un terme d’une proportion dont on en connaît trois.
Celle qu’on appelle règle de 2 'rois directe et simple est nommée simple , parce que l’énoncé des questions auxquèlles on l’applique ne renferme jamais plus de quatre quantités , dont trois sont connues , et la quatrième est à trouver.
On l’appelLë directe , parce que des quatre quantités qu’on y considère, il y en a toujours deux qui, non-seulement sont relatives aux deux autres, mais qui en dépendent de manière que , de même qu’une des quantités contient l’autre , ou est contenue en elle , de même aussi la quantité relative à la première contient la quantité relative à la seconde, ou est contenue en elle ; c’est-à-dire, d’une manièi'e plus aln-égée , qu’une quantité et sa relative peuvent toujours être, toutes deux, ou antécédens ou conséquens dans la proportion ; ce qui n’a pas lieu dans la Règle de Trois inverse , comme nous le verrons dans peu.
La méthode pour trouver le quatrième terme d’une proportion , et par conséquent pour faire la règle de Trois directe et simple , est suffisamment exposée ( i ^9) ; mais il est à propos de faire connaître, par quelques exemples , l’usage qu’on peut faire de cette règle.
EXEMPLE I. I
4o ouvriers ont fait, en un certam temps, 268 toises d’on-
DE MATHÉMATIQUES ik
vrage ; on demande combien 6o ouvriers pourraient en faire dans le même temps.
Il est clair que le nombre des toises doit augmenter à proportion du nombre des ouvriers ; en sorte que celui-ci devenant double , triple , quadruple , etc. , le premier doit devenir aussi double , triple , quadruple , etc. Ainsi l’on voit que le nombre de toises cherché doit contenir les 268 toises, autant que le nombre 60, relatif au premier, contient le nombre 4<> relatif au second : il faut donc chercher le quatrième terme d’une pixv portion qui commencerait par ces trois-ci «
Ou, en divisant ces deux premiers termes par 20, ce qui est permis (170) , par ces trois autres 1
Ainsi , selon ce qui a été dit (179), je muldplie 268®’ par 3 , et je divise le produit 8o4 par 2 ; ce qui donne pour quotient 402® , et par conséquent 4°^^ pour l’ouvrage que feraient les 60 ouvriers.
EXEMPLE 11
Un navire a fait, avec un même vent, 275 lieues en 3 jours ; on demande en combien de temps il en ferait 2000, toutes les autres circonstances demeurant les mêmes.
Il est évident qu’il faut plus de temps, à proportion du nombre de lieues , et que par conséquent le nombre de jours cherché doit contenir 3 jours , autant que 2000 lieues contiennent 275 lieues : il faut donc chercher le quatrième terme d’uue proportion qui commence par ces trois-ci :
Multipliant 2000 par 3 , et divisant le produit 6000 par 276,
on aura 21 jours — .
COURS
