Cette propriété sert à simplifier les rapports. Par

exemple, si j’avais à examiner le rapport de 6 ^ a 10 ^ ’ J®

rais , en réduisant tout en fi-action , ce rapport est le même que

celui de -/ à ou en réduisant au même dénominateur , le 4 3

même que celui de — à , ou enfin en supprimant le dénominateur 1 2 { ce qui revient au même que de multiplier les deux termes du rapport par 12), ce rapport est le même que celui de 81 à 128.

172. Lorsque quatre quantités sont telles que le rapport des deux premières est le même que le rapport des deux dernières , 011 dit que ces quatre quantités forment une proportion, et cette

1)E î /niEMATIQUKS. loi

proportion est arithmétique ou géométrique , selon que le rap- [)Ort qu’on y considère est arithmétique ou géométrique.

Les quatre quantités 7,3, 12 et i4 forment une proportion arithmétique , parce que la différence des deux premières est la même que celle des deux dernières. Pour marquer qu’elles sont en proportion arithmétique, on les écrit ainsi, 7.9 ! 12. i4> c’est-à-dire qu’on sépare par un point les deux termes de chaque rapport , et les deux rapports par deux points. Le point qui sépare les deux termes de chaque rapport , signifie est à , et les deux points qui séparent les deux rapports, signifient comme ; en sorte que pour énoncer la proportion ainsi décrite , on dit, 7 esf à 9 comme 12 est à i4-

Les quatre quantités 3, i5, 4 . 20 forment une proportion ' géométrique, parce que 3 est contenu dans i5, comme 4 fest dans 20. Pour marquer qu’elles sont en proportion géométrique , on les écrit ainsi, 3 : i5 :: 4 = c’est-à-dire qu’on sépare les deux termes de chaque rapport par deux points, et les deux rapports par quatre points. Les deux points signifient est à , et les quatre points signifient comme ; de sorte qu’on dit 'à est à i5, comme 4 est à 20.

11 faut absolument observer que dans la proportion arithméti(|ue, on fait précéder le mot comme du mot arithmétiquement.

173. Le premier et le dernier terme de la proportion se nomment les extrêmes ; le 2". et le 3* se nomment les moyens.

Comme il y a deux rapports , et par conséquent deux antécédens et deux conséquens, on dit, pour le premier rapport , premier antécédent , premier conséquent ^ et pour le second , second antécédent , second conséquent.

174. Quand les deux termes moyens d’une proportion sont égaux , la proportion se nomme proportion continue,- 3.7 :7.ii forment une proportion arithmétique continue ; on l’écrit ainsi •=■3.7.11; les deux points et la barre qui précèdent sont pour avertir que dans l'énoncé on doit répéter le terme moyen qui , est ici 7.

I..a [troporlion .') : 20 :: 20 ; 80 estime proportion géoinétri<|ue

103 COURS

continue, que par abréviation on écrit ainsi H 5 : 30 ; 8o; l’usage des quatre points et de la barre est le même que dans la proportion arithmétique continue.

1 75. Il suit de ce que nous venons de dire sur les proportions arithmétique et géométrique :

1°. Que si, dans une proportion arithmétique, on ajoute à cha cun des antécédens , ou si l’on en retranche la différence ou raison qui règne dans cette proportion, selon que l’antécédent sera plus petit ou plus grand que son conséquent , chaque antécédent deviendra égal à son conséquent ; car c’est donner au plus petit terme de chaque rapport ce qui lui manque pour égaler son voisin, ou retrancher du plus grand ce dont il surpasse son voisin. Ainsi dans la proportion 3.7:8.13, ajoutez la diffé- 1*60064 premier et au troisième terme, vous aurez 7.7 : 12.1a, et il est aisé de sentir que cela est général.

3°. Si, dans une proportion géométrique, vous multipHez chacun des deux conséquens par le rapport, vous les rendrez pareillement égaux chacun à son antécédent ; car multiplier le conséquent par le rapport, c’est le prendre autant de fois qu’il est contenu dans l’antécédent : ainsi, dans la proportion la : 3 : : ao : 5 , multipliez 3 et 5 chacun par 4 , et vous aurez la : la : : 20 : 20 ; pareillement, dans la proportion i 5 : 9 : : 45 : 27, multipliez 9 et i 5 5

27 chacun par

ou ^ qui est le rapport , vous aurez

Propriétés des Proportions arithmétiques.

176. La propriété fondamentale des proportions arithmétiques est que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens ; par exemple ; dans cette proportion 3.7:8.12, la somme 3 et 12 des extrêmes, et celle 7 et 8 des moyens, sont également i 5 .

Voici comment ou peut s’assurer que cette propriété est générale.

Si les deux premiers termes étaient égaux entre eux et les

deux derniers aussi égaux entre eux , comme dans ceite proportion :