P : 77^ I SP

C’est-à-dire qu’il faut multiplier i 63 ^g"*’ 4 *'par 77^ iP 8<’, et diviser le produit par 52 ’'' 4 ^* 5 ^, ce qu’on peut faire parce qui a été dit {122 et 128.)

Mais il sera encore plus simple de réduire les deux premiers termes à leur plus petite espèce, c’est-à-dire en pouces; et la question sera réduite à chercher le quatrième terme d’une proportion qui commencerait par ces trois autres ;

Alors multipliant 168^^ 9'^4*'P®'’5564, on aura 937348^ 1 0-^8*',

et divisant par 8797, le quotient 246’’’ 17-'’ 3 *' ^ sera ce

qu’on doit payer pour les 7^’'’ i** S*".

S’il y avait des fractions, après avoir réduit les deux termes de même espèce à leur plus petite unité , comme dans cet exemple , on simplifierait le rapport de ces deux termes de la manière qui a été enseignée (i7i).

De la Règle de Trois inverse et simple.

ig 5 . La réglé de Trois inverse et simple difière de la règle de Trois directe , dont nous venons de parler, en ce que des quatre quantités qui entrent dans l’énoncé de la question pour laquelle on fait cette opération , les deux principales doivent se contenir l’une l’autre, dans un ordre tout opposé à celui des deux antres quantités qui leur sont relatives; en sorte que, lorsque par l’examen de la question, on a donné à ces quantités la disposition convenable pour former une proportion, l’une des quantités

UE MATHÉMATIQUES. i.3

principale et sa relative forment les extrêmes , et l’autre quaii tité principale avec sa relative , forment les moyens.

Au reste , cela n’introduit aucune diiférence dans la manière de faire l’opération ; c’est toujours le quatrième terme d’une proportion qu’il s’agit de trouver, ou du moins on peut toujours amener la chose à ce point.

Quelques arithméticiens ont prescrit, pour le cas présent, une règle assujettie à l’énoncé de la question : nous ne suivrons point leur exemple; c’est la nature de la question, et non pas son énoncé ( qui souvent est vicieux ) , qui doit diriger dans la résolution.

EXEMPLE I

3o hommes ont fait un certain ouvrage en 25 jours : combien faudrait-il d'hommes pour faire le même ouvrage en lo jours?

On voit qu’il faut, dans ce second cas, d’autant plus d’hommes que le nombre de jours est moindre ; ainsi le nombre d’hommes cherche doit contenir le nombre 3o d’hommes , autant que le nombre 25 déjoues, relatif à ceux-ci , contient le nombre lo de jours, relatif à ceux-là. Il ne s’agit donc que de trouver le quatrième terme d’une proportion qui commencerait par ces trois-ci i

I oy ï 25y • ï 3o/.o I

c’e.st-à-dire de multiplier 3o par 25, et de diviser le produit ^5o par 10 ; ce qui donne ou 70 hommes.

EXEMPLE II

Un équipage n’a plus que pour i5 jours de vivres; mais les circonstances doivent encore lui faire tenir la mer pendant 20 jours ; on demande à combien on doit réduire la totalité des rations par jour.

Représentons par l’unité la totalité des vivres que l’on consomme par jour ; on voit que ce à quoi on doit se restreindre doit être d’autant moindre que cette unité, que le nombre 20 des jours pendant lesquels cette économie doit durer, e.st plus Betuut. Arithm T- l 8

COURS

grand que le nombre i 5 de jours; que par conséquent, de même que 30 jours contiennent 1 5 jours, de même la totalité des vi\res que Ton aurait consommés pendant chacun de ces quinze jours , doit contenir celle des vivres que l’on consommera pendant chacun desao jours; il faut donc chei'cher le quatrième terme d’une proportion qui commencerait par les trois suivans i

Ce quatrième terme sera ~ ^ donc sc réduire au j

> de ce qu on aurait consomme par jour.

De la Règle de Trois composée.

ig6. Dans les deux règles de Trois que nous venons d'exposer, la quantité cherchée et la quantité de même espèce qui entre dans l’énoncé de la question , ont entre elles un rappoit simple et déterminé par celui des deux autres quantités qui enti-ent pareillement dans l’énoncé de la question.

Dans la règle de Trois composée , le rapport de la quantité cherchée à la quantité de même espèce qui entre dans l’énoncé de la question , n’est pas donné par le rapport simple de deux autres quantités seulement , mais par plusieurs rapports simples qu’il s’agit de composer (187) d’après l’examen de la question.

Quand une fob ces rapports ont été composés , la règle est réduite à une règle de Trois simple ; les exemples suivans vont éclaircir ce que nous disons.

EXEMPLE 1

3 o hommes ont fait iSs toises d’ouvrage en 18 jours; combien 54 hommes en feront-ils en 38 jours ?

On voit que l’ouvrage dépend ici non-seulement du nombre des hommes , mais encore du nombre des jours.

Pour avoir égard à l’un et à l’autre , il faut considérer que 3 o hommes travaillant pendant 1 8 jours ne font qu’autant que 1 8 fois 3 o hommes , c’est-à-dire , que 54 o hommes qui travailleraient pendant un jour.

DE MATHEMATIQUES. i «5

Pareillement , 54 hommes travaillant pendant 28 jours ne font qu’autant que feraient 28 fois 54 hommes , ou 1 5 1 2 hommes travaillant pendant un jour.

La question est ck)nc changée en celle-ci : 54o hommes ont fait 182 toises d’ouvrage , combien i5i2 hommes en feraient-ils dans le même temps ? c’est-à-dire qu’il faut chercher le quatrième terme d’une proportion qui commence par ces trois-ci t 540* ! i5i2* ; : 182 !

Multipliant i5i2 par 182, et divisant le produit par 54 o, on trouvera pour réponse à la question 869’*’ 7^ 2*

EXEMPLE II

Un homme , marchant 7 heures par jour , a mis 80 jours à faire 280 lieues ; s’il marchait 10 heures par jour , combien emploierait-il de jours pour faire 600 lieues, allant toujours avec la même vitesse ?

S’il marchait { endant le même nombre d’heures par jour , dans chaque cas, on voit qu’il emploierait d’autant plus de joui .s qu'il a plus de chemin à faire ; mais comme il marche pendant un plus grand nombre d’heures chaque jour, dans le second ca.s, il lui faudra moins de temps par cette raison ; ainsi l’opération tient en partie à la règle de Trois directe et à la règle de Trois inverse.

On la réduira à une règle de Trois simple , en considérant que marcher pendant 80 jours , et employer 7 heures chaque jour , c'est marcher pendant 80 fois 7 heures, ou 210 heures; ainsi on peut changer la question en cette autre < il fallu 210 heures pour faire 280 lieues ; combien en faudra-t-il pour faire 600 lieues ? Quand on aura trouvé le nombre d’heures qui satisfait à cette question, en le divisant par 10, on aura le nombre de jours demandé, puisque l’homme dont il s’agit emploie 10 heures par jour.

Ainsi il faut chercher le quatrième terme de la proportion , dont les 8 premiers sont :

COURS

On trouvera que ce quatrième terme est 547 et

lesquelles divisées par lo, nombre des heures que cet homme emploie chaque jour, donnent 54 jours et ou 54 ^

De la Règle de Société.

197. La règle de Société est ainsi nommée, parce qu’elle sert à partager entre plusieurs associés le bénéfice ou la perte résultant de leur société.

Son but est de partager un nombre proposé en parties qui aient entre elles des rapports donnés.

La règle que l’on donne pour cet effet est fondée sur ce que nous avons établi (186] : nous allons la déduire de ce principe , dans l’exemple suivant :

EXEMPLE I

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse de partager 120 en trois parties qui aient entre elles les mêmes rapports que les nombres4, 3,2; l’énoncé de la question fournit ces deux proportions :