la 1”. partie : : 3 : la 2'. : : 2 : la

Oi' on a vu (186) que la somme des antécédens de plusieurs rapports égaux est à la somme des conséquens , comme un antécédent est à son conséquent : on peut donc dire ici que la somme 9 des trois parties proportionnelles à celles que l’on cherche esta la somme 120 de celles-ci, comme l’une quelconque des trois parties proportionnelles est à lapartie de 1 20 qui lui répond.

DE MA'rHE.MATlQl'ES.

La rcple se réduit donc, i“. à faire une totalité des parties proportionnelles données ; 2°. à faire autant de règles de Trois cpi’il y a de parties à trouver , et dont chacune aura , pour premier terme , la somme des parties proportionnelles données ; pour second terme , le nombre proposé à diviser ; et pour troisième terme, l’une des parties proportionnelles données : ainsi, dans la question que nous avons prise pour exemple, on aurait ces trois règles de Trois à faire ,

flont on trouvera (179) que les quatrièmes termes sont

4o, 26 2 qui ont entre eux les rapports demandés , et qui composent en effet le nombre 120.

Mais il est aisé de remarquer qu’il n’est pas absolument nccessaii'e de faire autant de règles de Trois qu’il y a de parties à trouver ; on peut se dispenser de la dernière , en retranchant du nombre proposé la somme des antres parties , quand on les a ti'ouvées.

EXEMPLE II

Trois personnes ont à partager le bénéfice de la prise ifuu vaisseau. La première a fait un fonds de 20000^ ; la seconde , de 60000 ^ ; la troisième , de laoooo'"' : on demande combien il revient à chacun sur la prise estimée 800000*' , tous frais faits.

On voit qu’il s’agit de partager 800000* en parties qui aient entre elles les mêmes rapports que 20000*, Coooo*, 120000*, ou (170) que 2,6, 12, puisque chacun doit avoir proportionnellement à sa mise ; il faut donc ajouter les trois parties proportionnelles 2,6, 12 , et faire les trois proportions suivantes , ou seulement deux.

20 ! 800000 :: 2* : la I". partie,

20 1 800000 : : 6* : la 2*. partie ,

20 ! 800000 :: 12* ; la 3 '. partie.

Ces trois parties seront 80000*, 240000*, .^Soooo*

ii8 COURS

La question pourrait être plus compliquée, et cependant être ramenée aux mêmes principes , comme dans l’exemple qui suit.

EXEMPLE III

Trois personnes ont mis en société , la première , 3 ooo^, qui ont été pendant six mois dans la société; la seconde 4ooo*, qui y ont été pendant cinq mois; et la troisième 8000*, qui y ont resté pendant neuf mois; combien chacun doit-il avoir sur le bénéfice, qui monte à laoSo'*’ ?

On réduira toutes les mises à un mêmè temps , en cette manière :

La mise de 3 ooo* a dû produire pendant six mois autant que 6 fois 3 ooo^, ou 18000'*^ pendant un mois.

La mise de 4000''^ a dû produire pendant cinq mois autant que cinq fois 4ooo* ou aoooo* pendant un mois.

Enfin la mise de 8000* a dû produire en neuf mois autant que g fois 8000'’’' ou 'jiooo* pendant un mois.

Ainsi la question est réduite à cette autre : les mises de ti'ois assoêlés sont 18000*’, aoooo*’, 72000*, combien revient-il à cha Clin sur le gain de i 2 o 5 o ?

En procédant comme dans l’exemple ci-dessus , on trouvera 1971* ifi-*" 4 ** — , 2190* iS-*^ — , 7887* 5 *“ — .

Il 11 II

Remarque au sujet de la Règle précédente.

ig8. Il n’est pas inutile d’examiner un cas qui peut embarrasser les commençans. Si l’on proposait cette question i partager 65 o en trois parties, dont la 1'*. soit à la 2*. : : 5 : 4 > et dont la !'•. soit à la 3 *. : I 7 ] 3 .

On ne peut pas appliquer ici la règle précédente sans une préparation qui consiste à rendre la même , dans chaque rapport donné , la partie proportionnelle de l’une des trois parts cherchées ; par exemple , celle de la première. Cela s’exécute aisément . en multipliant les deux teimes de chaque rapport

DE MATHÉlVUTigUES. ng

par le premier terme de l’autre rapport ; ainsi les deux rapports 5 : 4 7 ‘ 3 > seront ramenés à avoir un même premier terme ,

en multipliant les deux termes du premier par 7 , et les deux termes du second par 5 , ce qui n’en change pas la valeur (170) et donne les rapports 35 : tt8 et 35 : i5 ; en sorte que la question se réduit à partager 65o en trois parties qui soient entre elles comme les nombres 35 , ^8 et i5; ce qui se fera aisément par la règle précédente.

Si l’on demandait de partager un nombre en quatre parties , dont la première fût à la seconde : 5 : 4 1 première à la troisième t : g : 5 , et la première à la quatrième 11 7 ; 3 , on réduirait ces rapports à avoir un même premier terme , en multipliant les deux termes de chacun par le produit des premiers termes des deux autres ; ainsi , dans cet exemple , on changerait ces trois rapports en ces trois autres, 3i5: 25a, 3i5 : 175, 3i5: i35; en sorte que la question se réduit à partager le nombre proposé en quatre parties qui soient entre elles comme les nombres 3i5, aSa , 175 et i35.

De quelques autres Règles dépendantes des Proportions.

* 199. Quoique les règles suivantes soient d'nn usage moins IVéquent que les précédentes, nous ne ponvons cependant les omettre absolument t outre qu’elles ne sont pas sans utilité par ellcs*mèmes, elles sont d’ailleurs propres à faire sentir l'étendue des usages des proportions.

'joo. La première dont nous parlerons est la Bègle d*une fausse position. On l'applique souvent à résoudre des questions qui appartiennent à la r^le de Société, dont elle diffère en ce qu'au lieu de prendre les parties proportion* nelles telles qu'elles sont données par l'énoncé de la question, elle en prend une arbitrairement, et j subordonne les autres conformément à la question, ce qui rend le calcul un peu plus facile.

s X SM r LS I.

Partager 640^ entre trois personnes . dont la seconde ait le quadruple de I4 première, et la troisième deux fois ait » autant que les deux autres ensemble.

Je prends arbitrairement, pour représenter la première partie, le nombre dont je puis prendre conmiodément 1c

COURS

(.a première partie èlanl 3, h seconde sera IQ. et la trouième sera 33.

I.a question est réduite à partager 64o en trois parties, qui soient entre elle> comme les trois nombres 3, lu ek35, ce qui se fera comme il a été dit (197^* La règle d'une fausse position sert aussi à résoudre des questions qui sont; en quelque fa^on , l'inverse de celles de la règle de Société, puisqu'il s'agit de revenir de la somme de quelques parties d'un nombre à ce nombre même . comme dans l'exemple qui suit.

K X E» r LS I I. '

On demande de trouver un nombre dont le le ^ et les^, fassent 808. Je

piends un nombre dont je puisse avoir commodément le ie-^ et le — ( ce qui est facile en multipliant les trois dénominateurs ). Ce nombre sera loo: j en prends le tsl35, le ^ quiest 'Jl, et les ^ quisont j'ajouicces (rois

nombres, et j’ai 101 , qni est composé des parties de io5 , delà même manière que 808 l'est de celles du nombre en question : donc le nombre en question doit avoir même rapport à 808, que io5à loi ;ildoil donc être le quatrième terme d'une proportion qui commencerait par ces trois-ci :

10 1 : io5 : : 808 :

Ce quatrième terme est 84<î , dont 808 renferme en eflèl ^ t le g et les “ .

201. La seconde règle dont nous parlerons est celle des deux fausses positions. Elle sert dans les questions où il s’agit départager , non pas le nombre même proposé , mais seulement une partie de ce nombre, en parties proportionnelles à des nombres donnés; l'exemple suivant fera connaître la règle et son usage.

Il s’agit de partager 6964^ entre trois personnes , de manière que ta seconde ail autant que la première, et 54^ de plus, et que la (rotsième ait autant que les deux autres ensemble, et 78^ de plus.

Sans les 54^ et les 78^ , il est clair qu'il ne s'agirait que de partager le nombre propose en parties proportionnelles aux nombres 1 , i et 2 ; mais puisqu'il faut prélever sur la somme , 54"^ pour la seconde personne et 54^ pbi» 78^ pour la troisième, il est évident qu'il n’y a qu*une partie du nombre proposé qu’on doit partager en parties proportionnelles .i 1, i et 2 : comme cette partie , qui est facile à trouver dans l'exemple actuel, peut êlrepliis diHicilc à apercevoir dans d'autres circonstances, on suit la méthode que voici :

Supposons, pour la première part, tel nombre que noua voudrons, par exemple, 1^, la seconde part sera plus 54^, c'est-à-dire 55#*; et la troisième seia ï#" plus plus 78^; c’est-à-dire 134"^ î la totalité de ces parts est 190^.

S’il n’cùlété question que de partageren parties proportionnelles à i, i et 2 , V» première p.art étant toujours supposée Ja seconde serait 1^, la troisicnx

1 if

DE MATHÉIMATIQUES.

«crail cl la totalité sérail 4^. dont la différence avec ujO'^% c'est-à-dire 186'^ est ce qu'il faut prélever sur la somme proposée 6964^, ce qui la réduit à 6768^ ; il reste donc à partager 6768^ en parties proportionnelles à 1 et 2 « selon les règles ci-dessus; et ayanttrouvéquela première partie est 1692'’^, on en conclut que les deux autres parts demandées sont 1746^01 35 i 6 ^ : en effet, latutalité de ces trois parts est 6954^*

202. On trouve encore cliea les Aritliméticiens plusieurs autres règles qui UC sont autre chose que l'application des règles de Trois , à différentes questions, telles que les questions 6'Intéi’ét^ de Change, à à'tconipte , etc.

Nous n'entrerons pas dans ces détails qui ne peuvent avoir de diflicullé pour ceux qui, ayant bien saisi les principes éUblis ci-dessus, auront en même temps l'état de la question présent à l'esprit. Nous nous bornerons à un seul exemple:

Une personne a fait à un marchand un billet de 2854 ^* payable dans un an; cllevicnl acquitter son billet au bout de 7 mois , et le marchand consent do diminuer pour les 5 mois restans les intérêts qui ont été compris dans le billet, à raison de 6 pour cent pour 12 mois; on demande pour quelle somme le marchand doit rendre le billet.

Puisque 12 mois produisent (> pour 100 d'intércl, 7 mois ont dû produire un interet qu'on trouvera en cherchant le quatrième terme d'une proportion , dont les trois premiers sont :

Ci; quatrième terme sera ^ 011 3 — . Or, quand rintérèt a été pris à 6 pour ]uo, on a compté pour loO^ ce qui ne valait que loo'^, donc quand l'inlérèt est à 3 on compte pour io 3 ce qui ne vaut que 100; il faut donc ac-

Inellement que oe qui devait rire payé Iû6 ne soit plus payé que io3 Ainsi la somme cherchée doit être le quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers sont