REMARQUE

Lorsque dans une operation on l’on fait usage des logarithmes, il s’en trouve quelques-uns que l’on doit retrancher , on peut simplifier l’opération par l’obsei*vation suivante.

Lorsqu’on a à retranchermn nombre quelconque d’un autre qui est l’unité suivie d’autant de zéro qu’il y a de chiffres dans le premier, l’opération se réduit à écrire la différence entre 9 et chacun des chiffres du nomlfi-e proposé , à l’exception du dernier, pour lequel on écrit la différence entre 10 et ce chiffre. Par exemple, si j’ai 526927 à retrancher de 1000000, je retranche successivement les chiffres 5,2,6, 9 , 2 , de 9 ; et le dernier chiffre 7 , je le retranche de 10 ; et j’ai 472073 pour reste.

Ce reste est ce qu’on appelle le complément arithmétique du nombre poposé.

La soustraction faite de cette manière, étant trop simple pour pouvoir être comptée pour une opération , il s’ensuit que lorsqu’on aura à former uu résultat de l’additiuu et de la sous-

tiH COURS

traction de plusieurs nombres, on pourra toujours réduire l'opération à l’addition. Par exemple, s’il s’agissait d’ajouter les deux nombres 672736,4^645» et de retrancher de leur somme les deux nombres 432752, 18675, ce qui exige deux additions et une soustraction , je substitue à ces opérations la suivante -■

Complément arith. de 43 x 752 . . . 567248 Complément arith. 18675. . . g 8 i 325

Somme 2647761

C’est-à-dire que j’ajoute ensemble les deux premiers nombres proposés , et les complément arithmétiques des deux derniers ; la somme est 2647761 . Il faut en supprimer le premier chifire 2; et les chiffres restant 647761 sont le résultat «icrché.

La raison de cette opération est facile à sentir, en remarquant que si, au lieu de retrancher 432762 , comme on le proposait, j’ajoute son complément arithmétique, c’est-à-dire 1000000 moins 432452 , je fais en même temps la soustraction proposée et une augmentation de 1000000, c’est-à-dire d’une dix.iine au premier chiffre du résultat ; donc pour chaque complément arithmétique que j’ai introduit , j’aurai une dixaine de trop à l’égard du premier chiffre du résultat.

L’application de ceci aux logarithmes est évidente.

Qu’il soit question , par exemple, de diviser 8760, par 79. Il faudrmt retrancher le logarithme dejg, de celui de 8760. Au lieu de cette opération , j’écris

Log. 8760 3,575188

Complément arithm. du log. 79. . 8,102878

Somme 11,677561

Ainsi 1,677661 est le logarithme du quotient, et répond à 47,69 à moins d’un centième près.

Supposons, pour second exemple, qu’il soit question de 6*75 ûSti

multiplier par ; il faudrait (106) multiplier 676 par

liE MATHEftlATlQUEi». 149

gSa , et 5^7 par 377; puis^ diviser le premier produit par le second. Par logarithmes , on opérera ainsi

Log. 675 3,829304

Log. 95a 3,978637

Complément arithmét. du log. Saj .... 7,a78i8g Complément arithmét. du log. 377 .... 7 , 4 a 365 g

Somme 20,609789

Le Logarithme du produit est donc 0,609789 qui , cherché avec trois unités de plus à la caractéristique , répond à 3 ,a 34 -

On peut faire usage du complément arithmétique pour mettre les logarithmes de fractions sous la même forme que ceux des nombi'es entiers, et les employer de même dans le calcul ; par làon évitera la distinction des logarithmes négatifs et des logarithmes positifs. 11 suffira de se souvenir que la caractéristique du logarithme des fractions pr’oprement dites , est trop forte de 10 unités.

Par exemple , pour avoir le logarithme de ^ qui n'est ( 96 )

autre chose que 3 divisé par 4 , au lieu de retrancher le logarithme de 4 de celui de 3 , c’est-à-dire de retrancher le logarithme de 3 de celui de 4 et de donner au reste le signe — ( a 35 ) ; au logarithme de 3 , j’ajoute le complément arithmétique du logarithme de 4 ;

hog- 3 0,477131

Complément arithmétique du log. 4 - • • . 9 > 39794 <>

Somme 9,87606 r

Cette somme est le logarithme de ^ dont la caractéristique

est trop forte de 1 o unités. Or, il n’est pas nécessaire de faire actuellement la diminution , on peut la rejeter à la fin des opérations dans lesquelles on emploiera ce logarithme. La même règle s’applique aux fractions décimales; ainsi, pour avoir le

OOURS

logarithme de 0,5^5 qui n’est autre chose que -i— , au loga-

looo °

rithme de 5^5 , j’ajouterai le complément arithmétique du logai'ithmede looo. En employant ainsi les complémens arithmétiques , au lieu des logarithmes négatifs des fractions, il n’en est pas plus diSicile de trouver, dans les tables , les valeurs en décimales , de ces mêmes fractions. Dès que je saurai qu’un logarithme proposé est ou renfeimie un ou plusieurs complémens arithmétiques , je sais que Sa caractéristique est trop forte d’autant de dixaines qu’il y entre de complémens arithmétiques ; ainsi , si elle passe ce nombre de dixaines , il sera facile de la diminuer et de trouver le nombre auquel appartient ce logarithme , et qui sera un nombre entier, ou un nombre entier joint à une fraction. Mais si la caractéristique est au-dessous du nombre de dixaines qu’elle est censée renfermer de trop , elle appartient certainement à une fraction que je tj'ouveraide cette manière : je chercherai , par ce qui a été dit , à quel nombre répond le logarithme proposé, et lorsque je l’aurai trouvé , j’en séparerai par une virgule, autant de dixaines de chiffres sur la droite qu’il y aura de dixaines de trop dans la caractéristique. Par exemple , si l’on me donnait 8,732x35 pour logarithme résultant d’une opération dans laquelle il est entré un complément arithmétique , je vois , puisque sa caractéristique est au-dessous d’une dixaine , qu’il appartient à une fraction. Je cherche d’abord (242) à quel nombre répond 8,732x35 , considéré comme logarithme d’un nombre entier ; je trouve qu’il répoiidà 5398ox5oo; séparant lo chiffres, j’ai o,o5398ox5oo pour valeur très-approchée de la fraction qui répond au logarithme proposé.

Mais , comme il est très rai'ement nédessaire d’avoir ces fractions à un tel degré de précision, on abrégera en diminuant tout de suite la cai'actéristique du logarithme proposé, autant qu’il est nécessaire pour la faire tomber parmi celles des tables ; et prenant seulement le nombre correspondant, on séparera autant de chiffres de moins que ne le prescrit la règle précédente , autant de moins , dis-je , qu’ on aura ôté d’unitès à la caractéris-

DE MATHÉMATIQUES. i 5 i

tique. Ainsi , dans le cas présent , je diminuerai la caractéristique de 5 unités , et ayant trouvé que le nombre correspondant est 5398. j’en séparerais seulement 5 chiffres, et j’aurais o.oSSgS. ,

Dans les élévations aux puissances , il faudra observer qu’en multipliant (aîg) le logarithme par le nombre qui marque le degré de la puissance, il se trouvera qu’on multipliera aussi ce dont la caractéristique se trouvera être trop forte. Ainsi , en élevant au cube , par exemple , s’il entre un complément arithmétique dans le logarithme proposé , c’est-à-dire si la caractéristique est trop forte de dix unités , celle du logarithme du cube sera trop forte de 3 o unités, et ainsi des autres. Il sera donc facile de la ramener à sa juste valeur.

Dans les extractions des racines , pour éviter toute méprise , lorsqu’il entrera des complémens arithmétiques dans les logarithmes dont on fera usage, on aura soin d’ajouter ou d’ôter à la caractéristique autant de dixaines qu’il est nécessaire pour que ce dont elle sera trop forte soit précisément d’autant de dixaines qu’il y a d’unités dans le nombre qui marque le degre de la racine ; et ayant , conformément à la règle ordinaire, divisé par le nombre qui marque le degré de la racine, ]a caractéristique sera trop forte précisément de 10 unités. Par exemple, si l’on

demande la racine cubique de , au logarithme de 276 ,

j’ajoute le complément arithmétique de celui de 54 ?.

Log. 276 2,440909

Complément arith. du log. 547 7,262013

Somme 9,702922

à la caractéristique de laquelle j’ajoute 20

alin qu’elle devienne trop forte de 3 dixaines , et j’ai 29,702922 dont le tiers 9,900974 est le logarithme de la r.acine cubique demandée, mais avec dix unités de trop à la caractéristique,

i 52 cours de MATHEMATIQUES.

conrorménient à ce qui a été observé ci-dessus, je trouve que cette racine cubique est 0,7961 , à moins d’un millième près.

L’usage des complémens arithmétiques est principalement utile dans les calculs de la trigonométrie , rt par conséquent dans plusieurs opérations du Pilotage que l’on veut faire aven une certaine exactitude

FIN DE l’arithmétique DE BEZOUT.

NOTES