DE LA DIVISION

9 . La DIVISION a pour but , connaissant le produit de deux facteurs , nommé oividenbe, et l’un de ses facteurs , nommé DIVISEUR, de trouver Vautre facteur nommé quotient. *

On peut trouver le quotient, à l’aide de soustractions successives , en eberebant combien le diviseur est contenu de fois dans le dividende.

Par exemple, pour trouver le quotient de 21 par 7 , il suffit de chercher combien 7 est contenu de fois dans 21 ; à cet effet, on ôte 7 de 21, ce qui donne le 1" reste i4 ; on ôte 7 de 14, ce qui donne le 2® reste 7 ; enfin on ôte 7 du 2" reste 7 , ce qui ‘ * donne le 3 ® reste zéro ; le nombre 7 est donc contenu 3 fois juste dans 21; le quotient exact de 21 par 7 est donc 3 .

Par une raison semblable, pour trouver le quotient de 25 par 7, on ôte 7 de a 5 , ce qui donne le i" reste 18 ; on rc-

i6 NOTES,

tranche n de i8, ce qui donne le a' reste 1 1; on retranche -j de II, ce qui donne le 3' reste 4 ; ce dernier reste étant moindre que le diviseur 7, ne contient plus ce diviseur; comme on a obtenu le 3‘ reste 4 après avoir diminué a5 de 3 fois 7, 011 voit que a5 est composé de 3 fois 7 augmenté de de sorte que a5 est compris entre 3 fois 7, et 4 fois 7. On Îî dit, par ce motif, que 7 est contenu 3 fois dans aS, avec un reste 4» et que 21 est le plus grand multiple de 7 contenu dans a5. ’

Le quotient de a5 par 7 étant compris entre 3 et 4, est composé de 3 unités, plus d’une quantité moindre que l’unité.'-^®', qui est égale au quotient du dernier reste 4 par le diviseur 7 ; " 'j®: on dit par cette raison , que 3 est la partie entière du quotient», ;S" de 7.5 par 7, ou que 3 est le quotient entier de a5 par Les deux nombres entiers consécutifs 3, 4> qui comprennent le quotient de aS par 7, sont les valeurs entières approchées ^ de ce quotient ; et 3 est la plus petite valeur entière chée du quotient.

En général : Lorsqu’une quantité est comprise entre deux '^f^ nombres entiers consécutifs , ces deux nombres sont les valeurs entières approchées de cette quantité; le plus petit de ces deux ' nombres entiers est la plus petite valeur entière approchée de ^ cette même quantité. ^

Le procédé que nous venons d’indiquer pourrait servir à déterminer le quotient par des soustractions successives, en cherchant combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende ; mais ce calcul devenant fort long, lorsque le diviseur est contenu un grand nombre de fois dans le dividende, on y a suppléé par une méthode abrégée qui a reçu le nom de division.

Exemple. Soit proposé de diviser 472878 par 567.

On connaît le produit 472878 de 567 par un certain nombre ; il s’agit de trouver ce dernier nombre. A cet effet, on dispose le calcul de la manière suivante :

•i*v ^ » .îT''"'^ ' . :

chÀPITRE I.

567 Diviseur.

834 Quotient.

• ■ Dernier jTeste. o

Le dividende 472878 e'tant compris entre 66700 et 667000 , c’est-à-dire entre 667 X 1 00 et 667 X looo (*), le quotient est nécessairement coinpris,entre 100 et looo; ce quotient est donc compose' de centaines, de dixaincs et d’unités. Or, le divi-' ’dende 472878 peut être considéré comme le produit du quotient par le diviseur ; il contient donc la somme des produits des centaines , des dizaines et des unités du quotient par le diviseur. Le premier de ces trois produits exprimant des centaines, ne pe'iit se trouver que dans les 4728 centaines du dividende 472878; d’ailleurs la somme des deux autres produits est nécessairement moindre que 100x667, ou que 667 centaines, car les dixaines et les unités du quotient forment toujour.s un nombre moindre que 100; le plusi grand multiple de 567 contenu dans 4728 exprime donc le produit du chiffre dés centaines du quotient par 667 ; le quotient de la division de ce pins grand multiple par 667 sera donc le clnifre des centaines du quotient; on obtiendra donc ce chiffre eu

1 déterminant combien le diviseur 667 est contenu de fois dans le nombre 4728 des centaines du dividende.

(*) Ponr iiiiiplifier tes ilcmonsirauons, nous ferons souvent us.ige îles ii/fnes algébriques ^

qui siguiliciu rcspectivcmenl

l'ius moins multiplié par égale.

Par exemple, l'cxprcstiun S — 3 4 X fi = ig,

est une égalité' qui iniliquc que

8 moins 3, plus \juultiplic par (5 égale og.

R., Arith. 24 ® «lit, .J

Pour irom'er, sans tdlonnenfcni , combien 56 ^ est contenu de fois dans o" fonnc les produits de 56 ^ pnr clmciiii

<les nombres

ces produits sont

On voit, à l’aide de cette table des multiples du diviseur^^. que est compris entre les deux multiples consécutifs 4536, 5 io 3 , c’est-A-dire entre 667 X 8 et 667 X 9 ; de sorte que 567 est contenu 8 fois dans 4728. Le cliilfre des centaines.. ; du quotient est donc 8.

On peut parvenir au même résultat , à l’aide de tâtonne-* mens , sans avoir recours à la table des multiples du diviseur^. En effet, le nombre 4728 des centaines du dividende, cou- ' tient la somme des trois produits partiels des 7 unités, des 6 dixaines et des 5 centaines de 667 , par le ciiilfre des centaines du quotient; et le dernier de ces produits exprimant ' des' centaines , ne^ieutse trouver que dans les 47 centaines de ' 4728. Par conséquent, 47 est composé du produit du premier ' chiffre 5 du diviseur par le premier chiffre du quotient , et des retenues de centaines qui peuvent avoir été fournies par les deux autres produits partiels. Il en résulte que si l’on cherche combien 5 cstcontenu de fois dans 47, le nombre 9, qu’on obtiendra^ exprimera le premier chiffre du quotient ou un chiffre trop grand, mais jamais un chiffre trop petit. Pour essayer le , chiffre 9, on multiplie 667 par9; le produit 5 io 3 surpassant 4728, le chiffre 9 est trop fort. Pour essayer le chiffréS, oui' • forme le produit 4536 dc 667 par 8; ce produit étant moindre que 4728, on est certain que le diviseur 667 est contenu 8 fois dans 4728 ; de sorte que le premier chiffre du quotient est 8.

(*) Celle tahle peut se former par îles addilioni succeMÎvcs du dÎTÎscur Par exemplt, en ajomam 567 567, la somme ii 34 exprime a fois $67;

ajbucaiil 667 h 1 134 , le rt'suhiit 1701 exprime 3 fois 567 j et ainsi de suite.