CCI

8,0136767 etc.

Ces quoliens périodiques se nomment aussi des fractions décimales périodiques.

60. Les fractions décimales périodiques peuvent toujours être converties en fractions ordinaires.

Pour démontrer cette propriété, nous désignerons par x la valeur, en fraction ordinaire, de la fraction donnée. Nous formerons deux expressions composées de la même partie périodique ; en les retranchant l’une de l’autre, la partie périodique disparaîtra, et on en déduira la valeur de x.

1°. Soit la fraction décimale périodique simple , moindre que Vunité, 0,272727 etc., dont la période est 27. On aura x = 0,272727 etc., 100 fois X = 27,272727 etc. (n“ 64).

On ôtera une fois x de 100 fois x; il restera

QQ fois X = 27 : (l’nù ,r = —

nv ! ^

Les inêincs raisonneniens pouvant s’appliquer à tout autre exemple, on voit que : Toute fraction décimale périodique simple , moindrt- que l’unité , est équivalente à une fraction ordinaire qui a pour numérateur la période , et pour dénomi-

NOTES

99 fois x= 4^7

d’où

naleurun nombre composé d’autant de g qu’il j a de chijjfres dans la période.

1®. Soit la fraction décimale périodique simple, plus grande que l’unité, 412727 etc.

On pout'iait déduire de (i“) sa valeur en fraction ordinaire*, car *

4,2727 etc. = 4 + 0,2727 etc. = 4 + — = — •

Mais, on parvient plus siniplcineiit au nicnie résultat, en opérant coinnie (1°), car on a

une fois.r = 4i’-727^7 > ' 1 00 foisar=427, 272727 etc.

Et en retrancliaiit une fois x de 100 fois x, il viendra,

Les luèiues raisonnetnens étant applicables à tout autre

exemple, on voit que toute fraction décimale périodique simple , plus grande que l’unité , est égale à une fraction ordinaire , qui a pour numérateur la différence entre la partie entière suivie de la première période et la partie entière , et pour dénominateur un nombre composé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres dans la période.

3 “. Soit la fraction décimale périodique m/x/e 0,0 136767 etc., dont la période est 67.

On a x= 0,0136767 etc.

Pour former deux expression.s composées de la même partie périodique, on transporte successivement la virgule à droite et à gauche de la première période, ce qui revient à multiplier successivement la fraction donnée par 100000 et par 1000. On trouve ainsi

loüooo fois X =. 1367,6797 etc., icoo fois X ~ 13,6767 etc.

On retranche 1 000 fois x de 100000 fois x ; les parties périodique.s étant les mêmes se détruisent, et il reste

99000 yo/.t .X -nr 1367 •• i 3 ; d’où X —

t) 90 on