CHAPITRE III
On trouve d’une manière semblable que
O ou c c 8oi36t — 8 oi 3 793354
8,013676767 etc. =
'Foule fraction décimale périodique mixte, plus petite ou plus grande que l’unité, est donc équivalente à une fraction ordinaire dont le numérateur est la différence entre la partie non périodique suivie de la première période et cette partie non périodique } pour former le dénominateur on écrit autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période , et on met autant de zéro sur la droite de ces 9 qu’il y a de chiffres dans la partie décimale non périodique.
61 . On peut toujours s'assurer d’avance si la division du numérateur <T une fraction par son dénominateur conduira à un quotient décimal exact ou à un quotient périodique.
i“. Quand le dénominateur est l'unité suivie de plusieurs zéro, les facteurs premiers 2 , 5 , de 10 entrent le même nombre de fois dans ce dénominateur-, la division fournit un quotient décimal exact; et la règle du n“ 83 conduit directement à ce quotient.
2°. Lorsque le dénominateur, n’étant pas l’unité suivie de plusieurs zéro , ne contient que les facteurs premiers 2 e< 5 , ces facteurs n entrent pas le même nombre de fois dans le. dénominateur, et la fraction peut toujours s’exprimer exactement en décimales; car en multipliant les deux termes de la fraction donnée un certain nombre de fois par 2 ou par 5 , de manière que chacun des facteurs a et 5 entre le même nombre de fois dans le nouveau dénominateur, on la transforme en une fraction équivalente dont le dénominateur est l’unité suivie de plusieurs zéro.
La fraction-/- est de cetie espèce, car
(jo axaxaxS ax3x3x5x5x5 loxioxio iooa~°*'" '
La division de 7 par 4 » conduiraitau meme résultat(n"S8).
(Î6 NOTES
Remabqüe. Le dénominateur de la fraction irréductible ~
contenant trois fois le facteur 2 et une Cois le facteur 5, on voit que cette fraction est exprimée par un nombre qui a trois cbilfres décimaux.
En général : lorsque le dénominateur d’une fraction irréductible ne renferme que les facteurs 2 , 5, et n’est pas l’unité suivie de plusieurs zéro, pour découvrir combien il y aura de cbilfres décimaux dans le nombre décimal qui exprime la fraction proposée , il suffit de chercher quel est celui de ces facteurs qui entre le plus grand nombre de fois dans le dénominateur; ce nombre de fois indique le nombre des cbilfres décimaux demandé.
3®. Quand le dénominateur d’un fraction contient des facteurs premiers autres que 2 et 5 , qui ne divisent pas le numérateur, la fraction ne peut pas se réduire exactement en décimales , et le quotient qui se prolonge indéfiniment est périodique.
En elfet, on ne saurait transformer la fraction donnée en une fraction équivalente qu’en multipliant ou en divisant scs deux termes par un même nombre ; les facteurs premiers autres que 2 et 5, contenus dans son dénominateur, se trouveront donc toujours dans les dénominateurs de toutes les fractions équivalentes à la fraction donnée ; pn ne pourra donc pas transformer cette dernière en une fraction équivalente ayant pour dénominateur l’unité suivie de plusieurs zéro ; la fraction proposée ne se réduira donc pas exactement en décimales, car tout nombre décimal est équivalent à une fraction ordinaire dont le dénominateur est l’unité suivie de plusieurs zéro. La division du numérateur par le dénominateur conduira donc à un quotient décimal périodique (n° 89).
4®. Lorsque le dénominateur d'une fraction ne contient aucun des facteurs tf. et 5 , la conversion de celle fraction en décimales conduit toujours à un quotient périodique simple.
En elfet, si l’on réduit d’abord cette fraction à sa plus simple expression, un obtiendra une fraction irréductible dont
