E X E .^P III
. JLl ' .
2^70 reslc.
On dira d'aliord : g ôté de 4 > ou plutôt de >4 ( en empruntant sur le chiffre suivant ) , il reste 5. Puis , pour ôter 8 de 5, comme cela ne se peut, et qu’il n’est -pas possible non plus d’emprunter sur le chiffre suivant qui est un zéro , on emprun- , tera sur le i une unité , laquelle vaut mille à l’égard du chiffre > sur lequel on opère. De ce mille . on ne prendra que dix unités qu’on ajoutera à 5 , et on dira : 8 ôté de i5 , il reste 7 .
Comme on n’a employé que dix unités sur mille qu’on a em- *pruntées,on emploiera les ggo, restantes , pour en retrancher ' les nombres qui répondent au-dessous des zérjS ; ce qui revient au même que de compter chaque zéro comme s’il valait g. Ainsi l’on dira : 4 ôté de g , reste 5 ; puis 7 ôté g , reste » j et enfin I ôté de I , il ne reste rien. . v ■ (,■
37 . S’il y a des parties décimales dans les nombres sur lesquels on veut opérer , ou suivra absolument la même règle ; * mais pour éviter tout embarras dans l’application de cette règle ,
^il n’y aura qu'à rendre le nombre des chiffres décimaux le * même dans chacun des déux nombres proposés , en mettant un nombre suffisant de téro à la suite de celui qui a le moins de 'décimales : cette préparation ne change rien à la valeur de ce 'nombre (3o). ’ » ^
, • , , , ' .EX E Me LE IV. ,
•o'n vt'ut*'ôtcr. . . . 385,0532' ^ i '
pi.;: veti by Çîioglc
. , DE MATU£M:\;A'1QLES. i5
Je mets deux téro à la suite des décimales du ibombre su- ^ pe’ricur; après quoi j’qpé'e sur les deux nombres ainsi pré- ‘ parés, précisément selon l’énoncé de la règle donnée pour les nombres entiers. '
54 o 5 , 25 oo ^
IJc la prciu’e de tJddition et de la Soustractim.
le t
38 . Ce qu’on appelle preuve d’une opération arithmétique est une autre opération que l’on fait pour s’assurer- de l’exactitude du feultat de la première. *•.<'*
La preuve de 'yadditions se fait en aj^tant de nouveau par parties, mais en commençant par lagaüffie, les soiumcs qu’oii * a di^à ajoutées. Cn retranche la totalité delà première colonne , de la partie qui lui répond dans la somme inférieure; on écrit ‘ au-dessous le reste qu’on réduit, par la pensée, en (ttxaines, pour le joindre au chiffre suivant de cette même somme , et du *■ total on retranche encore la totalité de la colonne supérieure ; % 011 continue ainsi jusqu’à la dernière colonne , dont la totalité étant retranchée ne doit'laisser aucun reste, * • » , *
^ Ayant trou^ que ci-dessus les quatre nombres . ^ ♦
' • * * » 6 go 3 4 * *
ont pour somme... . . 23087
Pour vérifier ce résultat , j’ajoute les méioes nc^bres^n commençant par lagaucfie , et je dis ; 6 et 7,^fent > et 7 font 20 , * lesquels Âtés de xS ,.il rdste 3 ou 3 dixaiq^, qt^ ayec le chiffre suivant séro^ font 3 o.. Je passe à la seconde colonne', et je dis ,
9 et 8 font 17 , et 9,|dnt. 26, et 3 font 29 ,, qnp j’ôtc'de’So;^)!
çhifiife suivant 3 ,-fait i 3 ;**»
reste 1 ou une dixaine , qui ,Jointe au
COURS
^J’ajoute toils les nombres de la troisième colonne , en disant ■ r 5 et 5 font lo, et i font 12, qui ôtés de i 3 , il reste 1 ou I une dixaine, laquelle, ajoutée au chiflre suivant 7, fait. 17; *.• j’ajoute pareillement tous les nombres de la dernière colonne , en disant , 3 et 4 font 7 , et 3 font 10, et 7 font 17, qui , ôtés de 17, il ne reste rien : d’où je conclus que la première opéra- ■ tion est exacte. •
* On est fondé à conclure qùê la première opération a été bien faite , lorsqu’après cette preuve il ne reste rien , parce qu’ayant ôté successivement tous les mille , toutes les centaines , toutes les dixaines et toutes les unités , dont on avait composé la somme , il faut qu’à la lin il ne reste rien. 0
3 g. La preuve de la soustraction se fait en .ajoutant le reste , trouvé par l’opération , avec le nombre retranché : si la première opération a été bien faite , on doit reproduire le nombre dont on a retranché : ainsi je vols que dans le troisième exemple donné ci-dessus, l’opération a été bien faite, parce qu’en ajoutant 17489 (nombre retranché) avec le reste 2575, je reproduis 20064, nombre dont on a retranché ;
de. .
ôtez.
reste.
^ preuve
, ^ ► Delà Multiplication. ' ;
«i, 40 ‘ Multiplier un, nombre par un autre, c’est prendre le premier de ces deux çombre^ autant de fois qu’il y a d’unités • ^ dan| l’autre. Multipher 4 c’est prendre .trois fois le
nombreÿ 4 ' * *
42. ’Le-mot a communément^ une acception beau- -•»coup plus* étendue > mais .p6us'’âv^rtisso^s‘ èxjircs'sémeiit que *
ooas ne l’emploierons que pour désigner le résultat de la multiplication. \ *
Le multiplicande et le multiplicateur se nomment aussi les 1 facteurs du produit : ainsi 3 et 4 sont les facteurs de la , parce que 3 fois 4 font la.
43 . Suivant l’idée que nous venons de donner de la multiplication , on voit qu’on pourrait faire cette opération etiqcrivant le multiplicande autant de fois qu’il y a d’unités dans le multiplicateur , et faisant ensuite l’addition. Par exemple^, pour multiplier 7 par 3 , on pourrait écrire
^ai
sa •»
et la somme ai résultante de cette addition., serait le produit ’ , Mais, lorsque le multiplicateur est tant soit peu considérable.» l’opération devient fort longue. Ce que nous appelons propre- * ment multiplication , est la méthode de parvenir à un même résultat par une voie plus courte. ^ »
44* Tant qu’on ne considère les nombres que d’une mani^ ^ abstraite, c’est-à-dire sans faire attention à la nature de leurs , unités , il importe peu lequel des deux nombres proposés pour la multiplication on prenne pour multiplicande ou pour multiplicateur. Par exemple , si l’on a 4 à multiplier par 3 , il q^t indifle-" relit de multiplier 4 par 3 , ou 3 par 4; le produit sera tou- ’ jours 11 . En effet, 3 fois 4 n’est autre chose que le triple de I fois 4> et 4 fois 3 est le triple de 4 fois 1 . Or il est évident * que I fois 4 et 4 fois i > sont la même chose, et on peut appli- • quer le même raisonnement à tout autre nombre. . •.
45 . Mais lorsque, par l’énoncé de la question , le niuUiplicateur et le multiplicande sont des nombres concrets , il impoi'tc de distinguer le multiplicande du multiplicateur :,cctte attention est principalement nécess^re daus la multiplication des nombres ' , complexes dont nous, parlarbns par la suite. .
Bttoiu. Arîihni' y . I. ' , '
r 8 cotms
‘ * Àu reste, cela est toujours aisé à distinguer ; la question qui 'conduit à la mult'plication dont il s’agit, fait toujours connaître B quelle est la quantité qu’il faut répéter plusieurs fois , c’est-àdire le multiplicande, et quelle est celle qui marque combien de fois on doit répéter le multiplicande , c’est-à-dire quel est le multiplicateur.” ”
46. (jlfftnme le multiplicateur est destiné à marquer combien de fois on doit prendre le multiplicande, il est toujours un ■ nombre abstrait : ainsi quand on demande ce que doivent coûter 5a toises de bois , à raison de 36 livres la toise , on voit que ' le multiplicande est 36 livres qu’il s’agit de répéter 5a fois, % soit que ce 5a marque des toises , ou toute autre chose.
* Le produit qui est formé de l’addition répétée du multiplicande , aura donc des unités de même nature que le muiti* l^icande (’)• “ % '
• Ap rès cette petite digression sur la nature des unités du pro-
* duit et de ses facteurs, revenons à la^^méthode pour trouver ce produit. ,
V -^4^- règles de la multiplication des nombres les plus composés , SC réduisent à ir ultiplier un nombre d’un seul chiffre par un nombre d’un seul chiffre. Il faut donc s’exercer à trouver soimême le produit des^ombres exprimés par un seul chiffre , en ajoutant '^rccessivei^ent un même nombre à loi-même. On peut aussi , si on le veut, faire usage de la table suivante , qu’on attribue à *
(*) Nous n'en exceptons pas inéine la multiplication géométrique , dont ^ nous ne parlerons qu'^n Géométrie , comme cela noua paraît assez naturel. • Les unités du multiplicateur ne sont Jamais que des unités abstraites, comme ^ dans toute autre multiplication.
UE MATUEmTIQUES.
Table de Multiplication.
OC
La première bande de cette table se forme en ajoutent i à mi-même successivement. ^ ‘
La seconde en ajoutant 2 de même. '* - ■* ^ •
La t^^isième en ajoutant 3 . et ainsi déduite. .<K
4g. Pour trouver, par le moyen de cette table , le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre chacun , on cherchera l’uu de ces deux nombres , le multiplicaiidé»,' par exemple," ' dans la bande supérieure , et en partant de ce nombre^ on descendra r erticalement jusqu’à ce qu’on soit vis-à-vis du multipfr cateur qu’on trouvera dans la première colonne. Le nombre sur * lequel on sera arrêté, sera le produit; Ainsi pour trouver, par» exemple, le produit de 9 parti, ou combien font 6 fois gT ]&., descends depuis le 9 , pris dans la première bande, jusque visrà- ' vis le 6 pris dans la première colonne : le nombre sur lequel je* m’arrête est 54; par conséquent 6 fois 9 font 54- -, * ^ *
En voilà aut^t qu’il en faut pour passer à la mqîti^^ication des nombres exprimés par plusieurs chiffres. , # 11
COURS
De la Multiplication par un nombre dun seul chiffre.
5o. Écrivci le multiplicateur, qu'on suppose ici d’un seul chiffre , sous le multiplicande , peu importe sous quel chiffre ; . mais, pour fixer les idées , supposons que ce soit sous le chiffre des unités.
Multipliez d’abord le nombre des unités par votre multipliicateur, et si le produit ne contient que des unités, écrivez ce produit au-dessous; s’il contient des unités et„des dixainés, écrivez seulement les unités , et comptant les dixmnes pour autant d’unités, retenes celles-ci.
Multipliez, de même , le nombre des dixainés du multipli- \ .cande , et au produit ajoutez les unités que vous avez retenues ; écrivez le tout au-dessous s’il peut être marqué par un seul chiffre , sinon n’écrivez que les unités de ce produit , et retenezen les dizaines qui sont des centaines, pour les ajouter au produit suivant qui sera pareillement des centaines.
. I Continuez de multiplier successivement , suivant la même règle , tous les chiffres du multiplicande ; la suite* des chiffres * que vous aurez écrits marquera le produit. ’
4 £XEMPLE.
.. On demande combien a864 toises valent de pieds? La toise est de 6 pieds. La question se réduit à prendre 2864 pieds 6 fois
J’écris donc a864 multiplicande.
• . J 6 multiplicateur
Jf ‘ * i7i84pro^uÿ.
, -Et je dis, en eommqq^klipsu- les unités , 6 fo
7 '* if?' * -'V
• Et je dis, en commqqj^^ill^P^ les unités , 6 fois 4 font 24,
j’écris 4, et je retiens d^u| pnités pour les dejix ÿv^nes. -
2". 6|fois 6 font 36,* et deux que j'^ retenues font 38; je* pote d et je retiens 3. - . < -S
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' DE MATHÉMATIQUES. • ai 3“. 6,fois 8 font 48 > et 3 <{ue j’ai i-etcnueü fuDt 5i ; je posé i, et je retiens 5. ^ «■
4' . 8 fois a font la , et 5 que j’ai retenues font 17 que j’éeris en entier, parce qu’il n’y a plus rien à multiplier. Le nombre 17184 est le produit demandé , ou le nombre des pieds que valent les 2864 toises , puisqu’il renferme 6 fois les 4 unités , 6 fois . les 6 dixâines , 6 fois les 8 centaines , 6 fois les a mille , et par conséquent 6 fois le nombre a864-
De la Multiplication par un nombre de plusieurs chiffres.
5 1 . Lorsque le multiplicateur a plusieurs chifib%s,'il feut faire successivement , avec chacun de ces chiffres , ce que l’on vient de prescrire lorsqu’il n’y en a qu’un , mais en commençant tou>jours par la droite. Ainsi on multipliera d’abord tous les chiffres du multiplicande par le chiffre des unités du multij>Iicatcur ; puis par celui des dixâines , et l’on écrira ce second produit sous , le premier ; mais comme il doit être un nombre de dixâines , .puisque c’est par des dixâines qu’on' multiplie , on portera le premier chiffre de ce produit sous les dixâines, et les autres chiffres toujours en avançant sur 1|, gauche. ■ •
Lutroisième produit, qui se fera en mulUpliant par les centaines , se placera de même sous le second , mais en avançant en. core d’une place : on suivra la même loi pour les autres^ ^ • Toutes ces multiplications étant faites, on ajoutera Tes pro" duits particuliers qu’elles ont donnés , et la somme sera le pro- ’duit total, • «
