CHAPITRE II

17. Somme de plusieurs nombres entiers. — Si nous considérons plusieurs nombres entiers qui indiquent combien il y a d'objets dans divers groupes, et que nous réunissions ensuite tous ces groupes en un seul, le nombre qui désigne combien il y a d'objets dans ce groupe s*appelle la somme des autres nombres entiers.

Les objets des divers groupes peuvent être de môme espèce ou non ; cela n'importe pas, pourvu que Ton n'ait pas d'autre but que de les compter. Il peut encore être question, au lieu de groupes d'objets, de grandeurs contenant toutes un nombre exact de fois leur unité, pourvu que Ton veuille seulement savoir combien il y a d'unités dans chacune d'elles et dans leur ensemble.

C'est même à ce dernier point de vue que nous nous placerons habituellement, et nous regarderons dorénavant un nombre entier comme indiquant combien il y a d'unités dans une grandeur déterminée.

18. DéflolUou de rudditlou — Cas simples. — L* addition est une opération de V arithmétique qui a pour but, étant donnés plusieurs nombres entiers, de trouver la somme de ces nombres.

S'il s'agit simplement d'ajouter un à un nombre entier quelconque, le résultat est le nombre immédiatement suivant : ainsi 5 et 1 font 6, 7 et 1 font 8, 19 et 1 font 20.

Il suffit, pour faire cette opération, de connaître simplement la suite des nombres entiers, ou de savoir compter, comme on dit plus habituellement.

S'il s'agit d'ajouter deux à un nombre entier, on fait deux fois de suite cette opération. Exemples : au lieu de 5 et 2, on dit 5 et 1 font 6, 6 et 1 font 7 ; au lieu de 8 et 2, on dit 8 et 1 font 9, 9 et 1 font 10; au lieu de 25 et 2, on dit 25 et 1 font 26, 26 et 1 font 27 ; etc.

D'une manière générale, s'il s'agit d'ajouter un petit nombre, tel que 5, par exemple, à un nombre quelconque, on ajoute au second successivement toutes les unités contenues dans le premier; ainsi pour ajouter 5 à 31, on dit 31 et 1 font 32, 32 et 1 font 33, 33 et 1 font 34, 34 et 1 font 35, 35 et i font 36.

Mais il vaut mieux, pour les commençants, apprendre par cœur tous les résultats de l'addition de deux nombres inférieurs à 10, et se servir de ces résultats pour effectuer rapidement une addition quelconque, ainsi qu'il sera exposé plus tard.

19. Table d'addition. — Tous les résultats dont nous par- Ions peuvent être mis dans un tableau, appelé table d'addU lion. Pour former ce tableau, on trace un carré, dont on divise les deux côtés en 10 parties égales, d'une façon approchée; on mène par les points de division de l'un des côtés des droites parallèles aux côtés du carré du second couple, par les points de division de l'un des côtés de ce second couple, on mène des parallèles aux côtés du premier couple; on forme ainsi 10 lignes horizontales de 10 cases chacune, et dans ces cases on met les résultats qu'il faut connaître et retenir; dans la première ligne, on met les 10 premiers nombres entiers, en commençant par 0,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; dans la seconde, ceux-ci augmentés d'une unité,

dans la troisième, ceux-ci augmentés d'une unité,

2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 9, 10, il ;

et ainsi de suite. II est visible alors que le nombre de la colonne marquée 6, en baut, et situé dans la ligne marquée 5, à gauche, est le nombre 6 augmenté de 5 unités, c'est-à-dire la somme de 6 et 5; d'une manière générale, la somme de deux nombres d'un seul chiffre est située à Tintersection des deux lignes différentes, horizontale et verticale, marquées par ces chiffres.

Table d'addition :

Mais pour les commençants il vaut mieux disposer ce tableau de la façon suivante, et le leur faire répéter, jusqu'à ce qu'ils le sachent parfaitement.

ARITBM. HUMB.

Table d'addition

0 et 1

font

0 et 4 font

0 et 7 font 7

0 et 2 font

0 et 5 font

0 et 8 font 8

0 et 3 font

0 et 6 font

0 et 9 font 9

20. Addition d'un nombre quelconque et d*aii nombre d'an seul cbiffre. — On partage le plus grand des nombres en unités, dizaines, centaines, etc. Gela fait, on ajoute aux unités ordinaires de ce nombre le second nombre ; si le résultat obtenu est plus petit que 10, il constitue les unités de la somme, que Ton peut alors immédiatement lire et écrire, d'après les règles de la numération ; si ce résultat est supérieur à 10, il contient une dizaine et des unités ; on enlève cette dizaine, pour la mettre avec les dizaines qui ont été mises à part, et on peut alors, en général, immédiatement lire et écrire la somme demandée. Exemples :

243 et 6 font 249, 247 et 7 font 254.

Si, en procédant ainsi, on obtient dix dizaines, on en fait une centaine, que Ton ajoute aux centaines mises à part ; et ainsi de suite. Exemple :

1997 et 8 font 2005.

Il est à peine besoin d'ajouter que toutes ces opérations se font par la pensée, rapidement, et sans laisser de traces dans le discours.

Cette opération et la suivante reposent sur le principe suivant, qui est évident :

On n^ altère pas la somme de plusieurs nombres^ en décomposant chacun d'eux en groupes d'unités d'une façon quelconque, pourvu que dans tous ces groupes, pris ensemble, il y ait le même nombre d*unités que dans le nombre décomposé.

21. Addition de nombres entiers quelconques. — On décompose chacun des nombres en unités, dizaines, centaines, etc.; puis on fait la somme des unités des divers nombres ; si cette somme ne surpasse pas 9, c'est le chiffre des unités de la somme cherchée ; si elle surpasse 9, on la décompose en unités et en dizaines (ex. : 247 contient 7 unités et 24 dizaines] ; on garde alors le chiffre des unités

Uè-''

ainsi obtenu et on retient les dizaines pour les ajouter aux dizaines des divers nombres ; on fait alors la somme de toutes ces dizaines ; si le résultat obtenu ne surpasse pas 9, c'^est le chiffre des dizaines de la somme cherchée ; si ce résultat surpasse 9, on le décompose en unités et en dizaines ; les unités actuelles donnent le chiffredes dizaines de la somme cherchée, et les dizaines actuelles sont des dizaines de dizaines, c'est-à-dire des centaines que Ton retient pour les ajouter aux centaines des divers nombres : et ainsi de suite.

Tout ce que nous venons de dire découle immédiatement de ridée d'addition et de la numération, et nous conduit à la règle suivante :

Règle. — Il faut écrire les divers nombres les uns audessous des autres, de façon que les unités de même ordre soient dans une même colonne verticale, et commencer Vopération par la droite; on trace au-dessous de tous ces nombres une ligne horizontale, et on fait la somme de tous les chiffres çontenus dans une même colonne ; on n! écrit au-dessous de cette colonne que le chiffre des unités ; on retient les dizaines pour les ajouter à la colonne qui est à gauche de celle-ci', et ainsi de suite. Quand on arrive à la dernière colonne, on écrit intégralement au-dessous le résultat obtenu.

Dans chaque colonne, on fait la somme de proche en proche et dans un ordre quelconque, car on n'altère évidemment pas le nombre des unités contenues dans un ensemble de nombres ou groupes en transposant ces groupes. Exemple: soient à ajouter 25631, 48927, 504, 75028, 27

L'opération . est indiquée à côté : on dit :

let7, 8, 8 et 4, 12, 12 et 8, 20, 20 et 7, ,27,

27 et 6, 33 ; j'écris 3 et je retiens 3 ; 3 et 3, 6,

6 et 2, 8, 8 et 2, 10, 10 et 2, 12, 12 et 9, 21;

j'écris 1 et je retiens 2 ; 2 et 6, 8, 8 et 9, 17,

158213 etc.

22. Pi-euve de Faddition. — On appelle preuve d'une opé- Tation, toute autre opération qui a pour but de s'assurer de rexaclitude de cette opération.

Une preuve de ce genre n'est jamais absolue, car on peut commettre des erreurs aussi bien dans la seconde opération que dans la première.

Pour vérifier une addition, on la recommence en écrivant les nombres dans un autre ordre, par exemple en comptant de bas en haut, si on a compté de haut en bas. Si on trouve le même résultat, il y a de fortes présomptions pour que Topération soit juste.